Bonsoir j'aurais besoin d'aide svp sauf la 1a
Exercice
Soit (un) la suite définie par uo =0,7 et, pour tout entier naturel n, on a: un + 1 = 3Un/1+2un .
1. On considère la fonction définie sur [0; +∞[ par : f(x) = (3x)/(1 + 2x)
a. Etudier les variations de f sur [ 0 ;+infini [.
b. En deduire que x € [0;1] alors f(x) € [0;1] .
2. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a:
0 <= un<= u n+1<=1.
b. Que peut-on en déduire concernant la suite (un) ?
Exercice
Soit (un) la suite définie par uo =0,7 et, pour tout entier naturel n, on a: un + 1 = 3Un/1+2un .
1. On considère la fonction définie sur [0; +∞[ par : f(x) = (3x)/(1 + 2x)
a. Etudier les variations de f sur [ 0 ;+infini [.
b. En deduire que x € [0;1] alors f(x) € [0;1] .
2. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a:
0 <= un<= u n+1<=1.
b. Que peut-on en déduire concernant la suite (un) ?
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Bonjour
1)a. Pour tout x positif, f est dérivable
f'(x) = (u'(x)v(x) - u(x)v'(x)) / (v(x))²
f'(x) = (3(1+2x) - 2(3x)) / (1+2x)²
f'(x) = 3 / (1+2x)²
Or pour tout x ≥ 0, 3 > 0 ; (1+2x)² > 0
donc f'(x) > 0 et donc f est strictement croissante sur [0;+oo[
b. 0 ≤ x ≤ 1
On applique la fonction f qui est strictement croissante
f(0) ≤ f(x) ≤ f(1)
f(0) = 0
f(1) = 1
0 ≤ f(x) ≤ 1
2)a. On pose, pour tout entier naturel n,
H(n) : "0 ≤ un ≤ u n+1 ≤ 1"
Initialisation :
Pour n = 0 : u0 = 0,7 ; u1 = 3u0 / 1 + 2u0 = 7/8
donc 0 ≤ u0 ≤ u1 ≤ 1, H(0) est vraie
Hérédité : Soit n un entier naturel, on suppose que H(n) est vraie. Montrons alors que H(n+1) est vraie
0 ≤ un ≤ u n+1 ≤ 1
On applique la fonction f
0 ≤ f(un) ≤ f(u n+1) ≤ 1
0 ≤ u n+1 ≤ u n+2 ≤ 1
donc H(n+1) est vraie
Conclusion : H(0) est vraie et H(n) est héréditaire donc
pour tout entier naturel n, H(n) est vraie cad la suite
b. (un) est croissante et majorée par 1