1- calculer les valeurs de;
A=(5^2+8^2)-(6^2+7^2) B=(14^2+17^2)-(15^2+16^2)
2-on considere quatre nombres entier naturels consecutifs.
a- quel resultat peut-on prevoir si on calcule la somme des carres du premier et du dernier,diminuee de la somme des carres des deux autres ?
b-prouver cette conjecture,quels que soient les quatre nombres choisis.
je suis DÉSESPÉRÉE donc si quelqu'un pouvait m'aider vraiment cela serai tres gentille
A=(5^2+8^2)-(6^2+7^2) B=(14^2+17^2)-(15^2+16^2)
2-on considere quatre nombres entier naturels consecutifs.
a- quel resultat peut-on prevoir si on calcule la somme des carres du premier et du dernier,diminuee de la somme des carres des deux autres ?
b-prouver cette conjecture,quels que soient les quatre nombres choisis.
je suis DÉSESPÉRÉE donc si quelqu'un pouvait m'aider vraiment cela serai tres gentille
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Réponse :
1- Pour calculer les valeurs de A et B, il suffit d'appliquer les formules correspondantes :
A=(5^2+8^2)-(6^2+7^2) = (25 + 64) - (36 + 49) = 89 - 85 = 4
B=(14^2+17^2)-(15^2+16^2) = (196 + 289) - (225 + 256) = 485 - 481 = 4
Ainsi, on trouve A=4 et B=4.
2- a) Si l'on considère quatre nombres entiers naturels consécutifs, alors leur somme peut être représentée par n + (n+1) + (n+2) + (n+3), où n est le plus petit des quatre nombres. La somme des carrés des deux premiers et des deux derniers nombres peut être représentée par (n^2 + (n+1)^2) + ((n+3)^2 + (n+2)^2), et la somme des carrés des quatre nombres peut être représentée par n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2 + (n+3)^2. Ainsi, la différence entre ces deux sommes est :
((n^2 + (n+1)^2) + ((n+3)^2 + (n+2)^2)) - (n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2 + (n+3)^2)
En développant les termes, cette différence peut être simplifiée comme suit :
= (n^2 + n^2 + 2n + 1) + ((n+3)^2 + (n+2)^2 - (n^2 + n^2 + 2n + 3))
= (2n^2 + 2n + 1) + ((n^2 + 6n + 9) + (n^2 + 4n + 4) - (2n^2 + 2n + 3))
= (2n^2 + 2n + 1) + (2n^2 + 10n + 13) - (2n^2 + 2n + 3)
= 8n + 11
Ainsi, on peut prévoir que pour n'importe quelle suite de quatre nombres entiers consécutifs, la différence entre la somme des carrés des deux premiers et des deux derniers nombres, et la somme des carrés des quatre nombres est toujours égale à 8n + 11.
b) Pour prouver cette conjecture, il suffit de prendre n'importe quelle suite de quatre nombres entiers consécutifs et de montrer que la différence entre la somme des carrés des deux premiers et des deux derniers nombres, et la somme des carrés des quatre nombres est égale à 8n + 11.
Soit n le plus petit des quatre nombres. Alors, on a :
Le premier nombre est n.
Le deuxième nombre est n + 1.
Le troisième nombre est n + 2.
Le quatrième nombre est n + 3.
Ainsi, la somme des carrés des deux premiers nombres est :
= n^2 + (n+1)^2
= n^2 + n^2 + 2n + 1