1. Chamamos a função F(x) de antiderivada ou primitiva da função f(x), sempre que F'(x) = f(x). para todo x do dominio da função. Determinar as primitivas das funções abaixo: a) x²-4x-4 (10 pts) b) x¹-2x²-x+2 (10pts) 2) Considerando que podemos mudar a variável para resolver integrais, resolva os exemplos abaixo aplicando a substituição: a) b) S cos (5x + 2) dx √3(2x-5)4 (15 pts) (15pts) 3) Uma grande aplicação de integrais é o cálculo de uma área sobre uma curva. Partindo desta aplicação, calcule a área sob a curva conforme dados abaixo mostrando também o gráfico da curva e da área delimitada: (30 pontos) f(x)== -2x²+4x Considerar a área entre o eixo x e os pontos x = 0 e x = 2
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a) Para encontrar a primitiva da função x²-4x-4, devemos utilizar a regra de integração por partes. Primeiro, escolhemos uma função u para aplicar a regra:
u = x
Ou seja, F(x) = ∫u . dv = u . v
A função v deve ser escolhida de modo que a derivada de u seja igual à função que queremos integrar, ou seja:
v' = x²-4x-4
Para encontrar a função v, basta integrar a função v' e adicionar uma constante C:
v = ∫(x²-4x-4) dx + C
= (1/3) . x³ - (2/2) . x² - (4/1) . x + C
= (1/3) . x³ - x² + 4x + C
Substituindo os valores de u e v na fórmula de integração por partes, temos:
F(x) = u . v = x . ((1/3) . x³ - x² + 4x + C)
= (1/3) . x⁴ - (1/2) . x³ + 2x² + Cx
A primitiva da função x²-4x-4 é (1/3) . x⁴ - (1/2) . x³ + 2x² + Cx.
b) Para encontrar a primitiva da função x¹-2x²-x+2, devemos utilizar a regra de integração por partes. Primeiro, escolhemos uma função u para aplicar a regra:
u = x
Ou seja, F(x) = ∫u . dv = u . v
A função v deve ser escolhida de modo que a derivada de u seja igual à função que queremos integrar, ou seja:
v' = x¹-2x²-x+2
Para encontrar a função v, basta integrar a função v' e adicionar uma constante C:
v = ∫(x¹-2x²-x+2) dx + C
= (1/2) . x² - (2/3) . x³ - (1/2) . x² + x + C
= (1/6) . x³ - (1/2) . x² + x + C
Substituindo os valores de u e v na fórmula de integração por partes, temos:
F(x) = u . v = x . ((1/6) . x³ - (1/2) . x² + x + C)
= (1/6) . x⁴ - (1/4) . x³ + (1/2) . x² + Cx
A primitiva da função x
Explicação passo a passo: