Réponse :

Explications étape par étape :

Dans tout l'exercice je parle de vecteur sans faire les flèches au dessus, par exemple vecteur AB je vais le noter AB. De même le vecteur nul je vais le noter tout simplement 0  

Rappels:

1) Relation de Chasles: si A, B et C trois points du plan alors AB + BC = AC.

2) -AB = BA

3) pour tout point M du plan on a MM = 0 (vecteur nul).

4) Si AB = DC alors ABCD est un parallélogramme

1)

U = MO + PM

U = PM + MO et d'après la relation de Chasles PM + MO = PO

Donc U = PO

V = MN + OP - ON  

V = MN + OP + NO  ( car  -ON = NO )

V = MN + (NO + OP)   (d'après la relation de Chasles NO + OP = NP)

V = MN + NP

V = MN  (d'après la relation de Chasles)

W = MN + PO -PN -MO (on commence par transformer -PN en NP et -MO en OM)

W = MN + PO + NP + OM

W = (OM +MN)  + ( NP + PO)

W = ON + NO  ( d'après la relation de Chasles)

W = OO = 0 (vecteur nul)

2) a) AM + AN - AO - AP =  0 vecteur nul

AM + AN - AO - AP =  0

AM + AN + OA + PA = 0

(PA + AM) + (OA + AN) = 0  (d'après la relation de Chasles(PA + AM) = PM et  (OA + AN) = ON )

PM + ON  = 0 ( vecteur nul)

b) puisque PM +ON = 0

alors PM = -ON

Donc PM = NO