Dans un lycée, un code d'accès à la photocopieuse est attribué à chaque professeur. Ce code est un nombre à 4 chiffres choisis dans la liste {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, chaque chiffre pouvant être repéré à l'intérieur d'un même code. Par exemple 0027 et 5855 sont des codes possibles.
1)Combien de codes peut-on ainsi former ?
2)Ce code permet aussi de définir un identifiant pour l'accès au réseau informatique. L'identifiant est constitué du code à 4 chiffres suivie d'une clé calculée à l'aide de l'algorithme suivant :
Entrée : N est le code à 4 chiffres
Initialisation : Affecter à P la valeur de N ;
Affecter à S la valeur 0 ;
Affecter à K la valeur 1.
Traitement : Tant que K 4 :
Affecter à U le chiffre des unités de P ;
Affecter à K la valeur K+1 ;
Affecter à S la valeur S+K*U ;
Affecter à P la valeur P −U/10;
Affecter à R le reste de la division euclidienne de S par 7 ;
Affecter à C la valeur 7-R.
Sortie (la « clé ») : Afficher C.
a) Faire fonctionner l'algorithme avec N = 2 282.
b) Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
Un professeur s'identifie sur le réseau informatique en entrant le code 4732 suivi de la clé 7. L'accès au réseau lui est refusé. Le professeur est sûr des 3 derniers chiffres du code et de la clé, l'erreur porte sur le 1er chiffre du code (qui n'est donc pas égal à 4). Quel est ce 1er chiffre ?
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1. On peut former toutes les nombres de 0000 à 9999 soit 10 000 possibilités.2. a) On fait tourner l'algorithme avec N = 2282. Les résultats trouvés à chaque étape sont résumés dans ce tableau :
PSKURC initialisation228201 étape 122842243étape 222283807étape 32364216étape 40465243sortie 3
La clé ainsi déterminée est bien 3.
2. b) Le professeur est sûr de ses trois derniers chiffres, donc l'algorithme tourne correctement jusqu'à l'étape 3 :
PSKUR Cinitialisation X73201 étape 1X7342243étape 2X7133361étape 3X414761étape 4 sortie
A l'issue de l'étape 3, on a : U = 7 ; K = 4 ; S = 41 ; P = X ; R = 6 ; C = 1 .
A l'étape 4, on affecte :
U = X
S = 41 + 5X
P = 0
R est le reste de la division euclidienne de 41 + 5X par 7
C = 7 - R
Or on sait que C = 7 donc on veut R = 0. On fait un tableau avec les valeurs de S et R en fonction de X :
X0123456789S = 41 + 5X41465156616671768186R6420531642
Donc la seule possibilité est X = 3.
Le code du professeur est donc 3732.