Bonjour !

Exercice 1 :

A = (n+2) / (n+3)

B = (n+3) / (n+4)

n ∈ ℕ.

1)

n = 0 :

A = (n+2) / (n+3) = A = (0+2) / (0+3) = 2/3

B = (n+3) / (n+4) = (0+3) / (0+4) = 3/4

Sachant que :

A = 2/3 = (2*4)/(3*4) = 8/12

B = 3/4 = (3*3)/(3*4) = 9/12

Donc A < B, A = B-1/12.

n = 10 :

A = (n+2) / (n+3) = A = (10+2) / (10+3) = 12/13

B = (n+3) / (n+4) = (10+3) / (10+4) = 13/14

Sachant que :

A = 12/13 = (12*14) / (13*14) = 168/182

B = 13/14 = (13*13) / (14*13) = 169/182

Donc A < B, A = B-1/182

2)

A - B = (n+2)/(n+3) - (n+3)/(n+4)

= (n+2)(n+4) / (n+3)(n+4) - (n+3)(n+3) / (n+4)(n+3)

= [ (n+2)(n+4)  - (n+3)(n+3) ] / (n+4)(n+3)

= [ (n² + 6n + 8)  - (n² + 6n + 9) ] / (n² + 7n + 12)

= [ n² + 6n + 8  - n² - 6n - 9 ] / (n² + 7n + 12)

A = ( -1 ) / (n² + 7n + 12)

3)

Le résultat est négatif, donc A < B pour tout n.

Exercice 3 :

AB = 4 cm, AC = x+1 cm, BC = x-1 cm.

Question : qui est l'hypoténuse dans les trois côtés ?

Déjà, x-1 < x+1, Donc x-1 ne peut pas être l'hypoténuse.

Cas 1, l'hypoténuse est 4 :

Donc (x+1)² + (x-1)² = 4²

<=> x² + 2x + 1 + x² - 2x + 1 = 16

<=> 2x² + 2 = 16

<=> 2x² = 14

<=> x² = 7

<=> x = √(7) (pas -√(7) car on ne peut pas avoir de longueurs négatives. )

Cas 2, l'hypoténuse est x+1 :

Donc 4² + (x-1)² = (x+1)²

<=> (x+1)² - (x-1)² = 4²

<=> (x+1)² - (x-1)² = 16

<=> (x+1 + x-1)(x+1 -x+1) = 16

<=> (2x)(2) = 16

<=> 4x = 16

<=> x = 4

S = { √(7) ; 4 }

Voilà !