15) O futebol é uma paixão nacional e, por isso, muitos torcedores acompanham pela TV os jogos de seus times do coração. Muitos não sabem, mas existe uma forte matemática envolvida nesse esporte. Estudos realizados com um certo jogador de futebol verificaram que a probabilidade de ele marcar gol em cobrança de penalidade máxima è de 3 gols em 4 cobranças, sendo cada uma independente. Com base nisso, o técnico deve calcular a probabilidade aproximada desse jogador marcar exatamente 5 gols em 7 cobranças será de:
A) 31,1%
B) 35,8%
C) 45,8%
D) 52,8%
E) 60,5%
A) 31,1%
B) 35,8%
C) 45,8%
D) 52,8%
E) 60,5%
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Para ele marcar precisamente 5 gols num total de 7 ele deve marcar 5 e não marcar 2, portanto nosso produto terá que ter 5 termos [tex]\frac{3}{4}[/tex] e 2 termos [tex]\frac{1}{4}[/tex]. Há também que considerar as distintas ordens em que se pode acertar essas 5 penalidades, sendo estas calculadas por meio de uma permutação de 7 elementos com repetição de 5 e 2. Logo:
[tex]\cfrac{3}{4} \cdot \cfrac{3}{4} \cdot \cfrac{3}{4} \cdot \cfrac{3}{4} \cdot \cfrac{3}{4} \cdot \cfrac{1}{4} \cdot \cfrac{1}{4} \cdot PR_7^{5,2}\\\\= \cfrac{3^5}{4^7} \cdot \cfrac{7!}{5! \cdot 2!} \\\\= \cfrac{3^5}{4^7} \cdot \cfrac{7 \cdot 6 \cdot 5!}{5! \cdot 2} \\\\= \cfrac{3^5 \cdot 7 \cdot 3}{4^7} \\\\= \cfrac{5.103}{16384} \\\\\approx 0,3115\\\approx 31,15\%[/tex]
a) 31,1%