Exercice 1 (7 pts) Tania vit dans un appartement dont la surface au sol est de 35 m². Elle le compare avec une yourte, l'habitat traditionnel mongol. On modélise cette yourte par un cylindre et un cône. On rappelle les formules suivantes : Aire du disque = xx rayon² Volume du cylindre = x rayon² × hauteur Volume du cône => xxx rayon² x hauteur 4,5 m 1 3) Tania réalise une maquette de cette yourte à l'échelle 25 Quelle sera la hauteur de la maquette (en cm) ? 1) Montrer que l'appartement de Tania offre une plus petite surface au sol que celle de la yourte. 2) Calculer le volume de la yourte en m³. 7 m 2,5 m Exercice 2 (9 pts) On mesure la taille des élèves d'une classe. On obtient les résultats suivants (en cm) : 186 152 153 184 139 171 163 166 191 157 149 152 125 Exercice 3 (4 pts) Loïc a marché pendant 40 minutes. Il a parcouru 3 200 mètres. 176 184 134 120 187 170 197 128 173 170 187 136 1) Calculer la moyenne des tailles des élèves de cette classe. 2) a) Déterminer la médiane des tailles des élèves. b) Interpréter cette médiane. 3) Quelle est l'étendue des tailles de cette classe ? 4) Quel est le pourcentage des élèves mesurant entre 1,60m et 1,80m ? Justifier. 5) On tire au hasard un élève de la classe. Quelle est la probabilité que cet élève mesure au moins 1,70m ? Quelle était sa vitesse moyenne, en km/h ? Puis en m/s ? Écrire tous les calculs. 1/2
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Exercice 1:
Pour trouver la hauteur de la maquette à l'échelle 1/25, on doit multiplier la hauteur réelle par l'inverse de l'échelle :
Hauteur de la maquette = Hauteur réelle / Échelle
Hauteur de la maquette = 4,5 m / 25
Hauteur de la maquette = 0,18 m = 18 cm
L'appartement de Tania a une surface au sol de 35 m². Pour comparer avec la yourte, nous devons calculer l'aire de la base de la yourte :
Aire du disque (base du cylindre) = π x rayon²
Aire du disque = π x (7/2)²
Aire du disque = 38.48 m²
L'aire totale de la yourte est la somme de l'aire du disque et de l'aire du cône :
Aire totale de la yourte = Aire du disque + Aire du cône
Aire totale de la yourte = 38.48 m² + (π x (7/2) x 7)
Aire totale de la yourte = 38.48 m² + 76.97 m²
Aire totale de la yourte = 115.45 m²
L'appartement de Tania a une surface au sol plus petite que celle de la yourte (35 m² < 115.45 m²).
Pour calculer le volume de la yourte, nous devons calculer le volume du cylindre et du cône séparément, puis les additionner :
Volume du cylindre = π x (7/2)² x 4.5
Volume du cylindre = 96.79 m³
Volume du cône = (π x (7/2)² x 7) / 3
Volume du cône = 67.03 m³
Volume total de la yourte = Volume du cylindre + Volume du cône
Volume total de la yourte = 96.79 m³ + 67.03 m³
Volume total de la yourte = 163.82 m³
Exercice 2:
Pour calculer la moyenne des tailles des élèves, nous devons faire la somme de toutes les tailles et diviser par le nombre d'élèves :
Moyenne = (186 + 152 + 153 + 184 + 139 + 171 + 163 + 166 + 191 + 157 + 149 + 152 + 125) / 13
Moyenne = 2030 / 13
Moyenne ≈ 156.15 cm
2a) Pour trouver la médiane des tailles des élèves, nous devons d'abord trier les tailles par ordre croissant :
125, 134, 136, 139, 149, 152, 152, 153, 157, 163, 166, 171, 184, 186, 187, 187, 191, 197
La médiane est la taille située au milieu, dans ce cas, la 9ème taille :
Médiane = 157 cm
2b) La médiane représente la taille de l'élève qui se situe au milieu lorsque les tailles sont triées par ordre croissant. Cela signifie que la moitié des élèves ont une taille inférieure à la médiane et l'autre moitié a une taille supérieure.
L'étendue des tailles de la classe est la différence entre la plus grande et la plus petite taille :
Étendue = 197 cm - 125 cm
Étendue = 72 cm
Pour calculer le pourcentage des élèves mesurant entre 1,60 m et 1,80 m, nous devons compter le nombre d'élèves dans cette plage et le diviser par le nombre total d'élèves. Ensuite, nous multiplions par 100 pour obtenir le pourcentage :
Nombre d'élèves mesurant entre 1,60 m et 1,80 m = 7 (compte tenu des tailles fournies)
Pourcentage = (7 / 13) x 100
Pourcentage ≈ 53.85%
Pour trouver la probabilité qu'un élève tiré au hasard mesure au moins 1,70 m, nous devons compter le nombre d'élèves mesurant 1,70 m ou plus, puis diviser par le nombre total d'élèves :
Nombre d'élèves mesurant au moins 1,70 m = 8 (compte tenu des tailles fournies)
Probabilité = (8 / 13) ≈ 0.6154
Exercice 3:
Pour calculer la vitesse moyenne de Loïc, nous utilisons la formule :
Vitesse = Distance / Temps
Loïc a marché pendant 40 minutes, soit 40/60 = 2/3 heures.
Vitesse moyenne = 3200 m / (2/3) h
Vitesse moyenne ≈ 4800 m/h
Pour convertir la vitesse en km/h, nous divisons par 1000 :
Vitesse moyenne ≈ 4.8 km/h
Pour convertir la vitesse en m/s, nous divisons par 3600 :
Vitesse moyenne ≈ 4800 m / 3600 s
Vitesse moyenne ≈ 1.33 m/s