Bonsoir, j'ai un devoir sur les vecteurs mais je ne comprends pas le devoir. Merci de m'aider.
Soit ABCD un parallelogramme. Soit I le milieu de [DC].
1. Construire les points Met N définis par :
AM = 3/2AB et AN = 3AD.
2.
a) Démontrer que : MN = -3/2AB + 3AD et BI= -1/2 AB + AD.
b) Démontrer que les droites (MN) et (Bl) sont parallèles.
3.
a) Exprimer les vecteurs CM et CN en fonction des vecteurs AB et AD.
b) En déduire que les points C, Met N sont alignés.
Soit ABCD un parallelogramme. Soit I le milieu de [DC].
1. Construire les points Met N définis par :
AM = 3/2AB et AN = 3AD.
2.
a) Démontrer que : MN = -3/2AB + 3AD et BI= -1/2 AB + AD.
b) Démontrer que les droites (MN) et (Bl) sont parallèles.
3.
a) Exprimer les vecteurs CM et CN en fonction des vecteurs AB et AD.
b) En déduire que les points C, Met N sont alignés.
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Réponse :
1) construire les points M et N définis par :
vec(AM) = 3/2vec(AB) et vec(AN) = 3vec(AD)
N/
/
/
D /.............I.............. C
/ /
A /............................../B.............. M
2) démontrer que : vec(MN) = - 3/2vec(AB) + 3vec(AD)
vec(MN) = vec(MA) + vec(AN) d'après la relation de Chasles
= - vec(AM) + vec(AN)
= - 3/2vec(AB) + 3vec(AD)
et démontrer que : vec(BI) = - 1/2vec(AB) + vec(AD)
vec(BI) = vec(BC) + vec(CI) relation de Chasles
or vec(BC) = vec(AD) (ABCD parallélogramme)
vec(CI) = - vec(IC) = - 1/2vec(DC) (I milieu de (DC))
or vec(DC) = vec(AB) (ABCD parallélogramme)
donc vec(BI) = vec(AD) - 1/2vec(AB)
b) démontrer que les droites (MN) et (BI) sont parallèles
vec(MN) = - 3/2vec(AB) + 3vec(AD)
vec(BI) = - 1/2vec(AB) + vec(AD)
vec(MN) = - 3/2vec(AB) + 3vec(AD)
= 3(- 1/2vec(AB) + vec(AD))
= 3vec(BI)
donc vec(MN) = 3vec(BI) ⇒ les vecteurs MN et BI sont colinéaires
par conséquent, les droites (MN) et (BI) sont parallèles
3)
a) exprimer les vecteurs CM et CN en fonction des vecteurs AB et AD
vec(CM) = vec(CB) + vec(BM) relation de Chasles
vec(CB) = - vec(BC) = - vec(AD)
vec(AM) = vec(AB) + vec(BM) donc vec(BM) = vec(AM) - vec(AB)
vec(BM) = 3/2vec(AB) - vec(AB) = 1/2vec(AB)
donc vec(CM) = 1/2vec(AB) - vec(AD)
vec(CN) = vec(CD) + vec(DN)
vec(CD) = - vec(DC) = - vec(AB)
vec(AN) = vec(AD) + vec(DN) donc vec(DN) = vec(AN) - vec(AD)
vec(DN) = 3vec(AD) - vec(AD) = 2vec(AD)
donc vec(CN) = - vec(AB) + 2vec(AD)
vec(CM) = 1/2vec(AB) - vec(AD)
= 1/2(vec(AB) - 2vec(AD)) ⇒ 2vec(CM) = vec(AB) - 2vec(AD)
vec(CN) = - vec(AB) + 2vec(AD)
= -(vec(AB) - 2vec(AD)) ⇒ - vec(CN) = vec(AB) - 2vec(AD)
- vec(CN) = 2vec(CM) ⇒ vec(CN) = - 2vec(CM)
les vecteurs CM et CN sont colinéaires ⇒ les points C, M et N sont alignés
Explications étape par étape :