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Explications étape par étape:

EXERCICE 1

Pour comparer A et B sans calculer les produits, nous allons réécrire les fractions de manière à mettre en évidence les termes qui se compensent.

Pour A, nous pouvons remarquer que chaque fraction est de la forme (nombre impair)/(nombre pair + 1). Par conséquent, chaque fraction peut être réécrite sous la forme :

(nombre impair)/(nombre pair + 1) = [(nombre pair + 1) - 1]/(nombre pair + 1) = 1 - 1/(nombre pair + 1)

Par exemple, 3/4 peut être réécrit sous la forme 1 - 1/5.

En utilisant cette réécriture pour chaque fraction, nous avons :

A = (1 - 1/3) × (1 - 1/5) × (1 - 1/7) × (1 - 1/9)

En développant cette expression, nous obtenons :

A = 1 - [1/(3×5)] - [1/(5×7)] - [1/(7×9)]

Pour B, nous pouvons remarquer que chaque fraction est de la forme (nombre pair)/(nombre pair + 1). Par conséquent, chaque fraction peut être réécrite sous la forme :

(nombre pair)/(nombre pair + 1) = 1 - 1/(nombre pair + 1)

Par exemple, 2/3 peut être réécrit sous la forme 1 - 1/3.

En utilisant cette réécriture pour chaque fraction, nous avons :

B = (1 - 1/3) × (1 - 1/5) × (1 - 1/7)

En développant cette expression, nous obtenons :

B = 1 - [1/(3×5)] - [1/(5×7)]

Nous pouvons maintenant comparer A et B. En utilisant les expressions que nous avons obtenues, nous avons :

A - B = - [1/(7×9)]

Comme 1/(7×9) est positif, nous en déduisons que A est strictement inférieur à B. En d'autres termes, on peut dire que B est plus grand que A

EXERCICE 2

Nous allons utiliser la même technique que précédemment pour réécrire les fractions de manière à mettre en évidence les termes qui se compensent.

Pour A, nous pouvons remarquer que chaque fraction est de la forme (nombre impair)/(nombre pair + 1). Par conséquent, chaque fraction peut être réécrite sous la forme :

(nombre impair)/(nombre pair + 1) = [(nombre pair + 1) - 1]/(nombre pair + 1) = 1 - 1/(nombre pair + 1)

Par exemple, 3/4 peut être réécrit sous la forme 1 - 1/5.

En utilisant cette réécriture pour chaque fraction, nous avons :

A = (1 - 1/3) × (1 - 1/5) × (1 - 1/7) × ... × (1 - 1/99)

En développant cette expression, nous obtenons :

A = [(1×2)/(2×3)] × [(3×4)/(4×5)] × [(5×6)/(6×7)] × ... × [(99×100)/(100×101)]

Les termes se simplifient deux par deux, il ne reste donc que le premier terme (1/2) et le dernier terme (99/100) :

A = (1/2) × (99/100) = 99/200

Pour B, nous pouvons remarquer que chaque fraction est de la forme (nombre pair)/(nombre pair + 1). Par conséquent, chaque fraction peut être réécrite sous la forme :

(nombre pair)/(nombre pair + 1) = 1 - 1/(nombre pair + 1)

Par exemple, 2/3 peut être réécrit sous la forme 1 - 1/3.

En utilisant cette réécriture pour chaque fraction, nous avons :

B = (1 - 1/3) × (1 - 1/5) × (1 - 1/7) × ... × (1 - 1/97) × (1 - 1/99) × (1 - 1/101)

Les termes se simplifient deux par deux, il ne reste donc que le premier terme (1/2) et le dernier terme (98/99) :

B = (1/2) × (98/99) = 49/99

Ainsi, nous avons :

A = 99/200 < 1/2 < 49/99 = B

On peut donc conclure que A est inférieur à 1/2 qui est inférieur à B