Resposta:

O perímetro do eneágono é 21,78 cm (aproximadamente)

Explicação passo a passo:

1) Um polígono regular de [tex]n[/tex] lados, divide a circunferência na qual ele está inscrito em [tex]n[/tex] arcos congruentes. O polígono regular em questão é um eneágono (possui 9 lados). Logo, cada arco mede:

[tex]\alpha =\dfrac{360\°}{9}=40\°[/tex]

2) Observe a figura anexa. O ângulo GOH é um ângulo central. Portanto, sua medida é igual à medida do arco que ele subtende. Então, a medida do ângulo central também vale 40°.

3) O ângulo GCH é um ângulo inscrito.  Portanto, sua medida é igual à metade da medida do arco que ele subtende. Então, a medida do ângulo inscrito vale 40° ÷ 2 = 20°.

4) Chamemos de [tex]x[/tex] a medida do lado GH (que é a medida do lado do eneágono). Considere agora o triângulo isósceles CGH, cujos lados congruentes (CH e CG) medem 7 cm. Apliquemos a Lei dos Cossenos ao triângulo e teremos:

[tex]x^2=7^2+7^7-2\cdot7\cdot 7\cdot \cos20\°[/tex]

[tex]x^2=49+49-98\cdot \cos20\°[/tex]

[tex]x^2=49+49-98\cdot 0,94[/tex]

[tex]x^2=49+49-92,12[/tex]

[tex]x^2=98-92,12[/tex]

[tex]x^2=5,88[/tex]

[tex]x=\sqrt{5,88}[/tex]

[tex]x\approx2,42[/tex]

5) O perímetro do eneágono regular é:

[tex]2p=9\cdot2,42=21,78\ cm[/tex]