A partir da definição do que são as retas no plano cartesiano e como determinar uma equação que a represente, temos então que, para os pontos P, Q e R:

• a.
  O ponto P é representado percorrendo 1 unidade em x e 5 em y;
  O ponto Q é representado percorrendo 10 unidades em x e 2 em y.
  
  
• b. Sendo que P, Q e R estão alinhados, a coordenada x de R deve ser 7;
  
  
• c. A reta PQ é dada pela linha que une os pontos P e Q, e o ponto que intersecta o eixo x é (16, 0).

Gráfico em anexo.

Equação da reta

Na matemática, quando se tem dois pontos com suas respectivas coordenadas, podemos, ao fazer uma linha que os junte, representá-lo como uma reta. A partir disso, temos a seguinte equação geral para retas:

[tex]\boxed{y=ax+b}[/tex]

Onde a é o coeficiente angular, que determina a inclinação da reta, e b o coeficiente linear, que determina onde a reta cruza o eixo y.

Então, para cada item dado, temos:

• a. Para representar os pontos P(1,5) e Q(10,2) no plano cartesiano, é necessário entender que o primeiro número de cada ponto é o quanto se percorre o eixo x e o segundo o quanto se percorre no eixo y. Então, para P, percorre-se 1 unidade em x e 5 em y, e para Q, percorre-se 10 unidades em x e 2 em y;
  
  
• b. Sabemos que os pontos P, Q e R estão alinhados, o que significa que eles estão todos em uma mesma linha reta. Isso implica que a inclinação da reta que passa por esses pontos é a mesma, isto é, a na equação da reta é igual.
  
  Então, entre P e Q:
  5 = 1a + b
  2 = 10a + b
  
  Agora, multiplicando a primeira por -1:
  - 5 = - 1a - b
  2 = 10a + b
  
  Somando-as:
  -3 = 9a
  a = -1/3
  
  Substituindo a na primeira:
  5 = (-1/3) + b
  b = 5 + 1/3
  b = 16/3
  
  A equação da reta fica: y = (-1/3)x + 16/3.
  
  Ou seja, o coeficiente angular é -1/3. Como são todos iguais, relacionando P e R e definindo ? como x:
  5 = 1a + b
  3 = xa + b
  
  Multiplicando a primeira por -1:
  - 5 = - 1a - b
  3 = xa + b
  
  Somando-as:
  - 2 = - a + xa
  - 2 = a*(-1 + x)
  
  Como sabemos que as inclinações são as mesmas, substitui-se a:
  - 2 = (- 1/3)*(1 + x)
  (1 + x) = 6
  x = 7
  
  Então, o ponto R é (7, 3);
  
  
• c. Para representar a reta PQ, basta fazer uma linha que ligue os pontos P e Q. Agora, para encontrar o ponto no qual a reta intersecta o eixo x, deve-se igualar y na equação da reta a zero. Então:
  y = (-1/3)x + 16/3
  0 = (-1/3)x + 16/3
  (1/3)x = 16/3
  x = 16
  
  Ou seja, a reta intersecta o eixo x no ponto (16, 0). Além disso, figura em anexo.

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