Explications étape par étape:

Pour résoudre des équations ou des systèmes d’équations de la forme cos x = k ou sin x = k, il faut utiliser les valeurs remarquables des fonctions cosinus et sinus, ainsi que leurs propriétés de périodicité et de symétrie. Par exemple, pour résoudre cos x = 1/2 pour x compris entre -π et π, on procède comme suit :

On cherche les valeurs de x telles que cos x = 1/2 sur l’intervalle [0;π], en utilisant le tableau des valeurs remarquables

On trouve que x = π/3 ou x = -π/3 sont des solutions.

On utilise la propriété de périodicité de la fonction cosinus : cos (x + 2π) = cos x, pour tout x réel. Cela signifie que si x est une solution, alors x + 2π ou x - 2π sont aussi des solutions.

On peut donc ajouter ou soustraire un multiple de 2π aux solutions trouvées sur [0;π] pour obtenir d’autres solutions sur R.

On utilise la propriété de symétrie de la fonction cosinus : cos (-x) = cos x, pour tout x réel. Cela signifie que si x est une solution, alors -x est aussi une solution. On peut donc changer le signe des solutions trouvées sur [0;π] pour obtenir d’autres solutions sur R.

On vérifie que les solutions obtenues appartiennent bien à l’intervalle [-π;π]. On trouve que les solutions sont x = π/3 ou x = -π/3.

Pour manipuler les propriétés des fonctions sinus et cosinus, il faut savoir que :

La fonction sinus est impaire et 2π-périodique. Cela signifie que sin (-x) = -sin x, pour tout x réel, et que sin (x + 2π) = sin x, pour tout x réel. La courbe de la fonction sinus est symétrique par rapport à l’origine du repère, et se répète tous les 2π.

La fonction cosinus est paire et 2π-périodique. Cela signifie que cos (-x) = cos x, pour tout x réel, et que cos (x + 2π) = cos x, pour tout x réel. La courbe de la fonction cosinus est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées, et se répète tous les 2π.

Les images de cos et sin sont comprises entre -1 et 1 pour tout réel x.

Cela signifie que -1 ≤ cos x ≤ 1 et -1 ≤ sin x ≤ 1, pour tout x réel. Les courbes des fonctions sinus et cosinus sont donc bornées par les droites d’équations y = 1 et y = -1.