2. Soit ABC un triangle, A' est le milieu de [BC], B' est le milieu de [AC] et C'est le milieu de [AB]. a. Refaire une figure et représenter le vecteur AA' + BB'+CC' Que pensez vous du résultat? b. En insérant le point A' dans les vecteursABet AC, montrer que AB + AC = 2AA' C. De la même manière, calculer BC + BA et CA + CB. d. En utilisant les trois résultats précédents, calculer AA' + BB' + CC' et vérifiez le résultat de la question a.
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Explications étape par étape:
a. Voici une figure pour le triangle ABC avec les milieux A', B', et C' et le vecteur AA' + BB' + CC':
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On peut observer que le vecteur AA' + BB' + CC' est égal à 0. Cela est dû au fait que A', B', et C' sont les milieux des côtés du triangle ABC, donc le vecteur AA' a la même direction et la même longueur que le vecteur CC', le vecteur BB' a la même direction et la même longueur que le vecteur AA', et le vecteur CC' a la même direction et la même longueur que le vecteur BB'. En ajoutant ces trois vecteurs, ils s'annulent mutuellement et le résultat est 0.
b. On a AB = AA' + A'B et AC = AA' + A'C. En ajoutant ces deux équations, on obtient :
AB + AC = 2AA' + A'B + A'C
Comme A' est le milieu de BC, on a A'B = A'C et donc :
AB + AC = 2AA' + 2A'B = 2AA'
c. De manière similaire, on peut montrer que :
BC + BA = 2BB'CA + CB = 2CC'
d. En utilisant les résultats de la question b et de la question c, on a :
AA' + BB' + CC' = (AB + AC) + (BC + BA) + (CA + CB) = 2AA' + 2BB' + 2CC'
Comme on l'a montré à la question a, on sait que AA' + BB' + CC' = 0. On en déduit donc que :
0 = 2AA' + 2BB' + 2CC'
Divisons par 2 pour obtenir :
AA' + BB' + CC' = 0
Ce résultat est cohérent avec ce que l'on a observé sur la figure.