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Após a realização dos cálculos chegamos a conclusão de que a progressão aritmética procurada é:

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ a_{20} = -\: \dfrac{17}{2} } $ }[/tex]

Toda sequência de números reais, na qual cada termo, a partir do segundo , é igual ao anterior somado a uma constante, denominada de razão r.

Exemplos:

[tex]\boldsymbol{ \textstyle \sf ( 4,7,10,13,14,17,21) }[/tex], é uma P.A finita de razão r = 3;

[tex]\boldsymbol{ \textstyle \sf (4,2,0-2,-4, \dotsi ) }[/tex], é uma P. A infinita de razão r = - 2.

Termo geral de uma P.A:

[tex]\Large \displaystyle \sf \begin{array}{ | l | l |}\sf 1^\circ ~ termo & \sf a_1 = a_1 +0r\\\sf 2^\circ ~ termo & \sf a_2 = a_1 +1r \\\sf 3^\circ ~ termo & \sf a_3 = a_1 +2r \\ \sf \vdots & \sf \vdots \\\sf n^\circ ~ termo & \sf a_n = a_1 +( n-1) r\end{array}[/tex]

[tex]\Large \boxed{\displaystyle \text { $ \mathsf{ a_n = a_1 +(n-1) \cdot r } $ }}[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ Onde: \begin{cases}\sf a_n \to termo ~geral \\\sf a_1 \to primeiro ~ termo \\\sf n \to n\acute{u}mero ~de ~ termo\\\sf r \to raz\tilde{a}o \end{cases} } $ }[/tex]

Dados fornecidos pelo enunciado:

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \begin{cases} \sf n = 20 \\ \sf a_{20} = \:? \\\sf (1,1/2,0, \dotsi) \\\sf a_1 = 1\\\sf a_2 = 1/2 \\\sf a_3 = 0\\ \end{cases} } $ }[/tex]

Calculando a razão, temos:

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{r = a_2 -a_1 } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ r = \dfrac{1}{2} - 1 } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ r = \dfrac{1}{2} - \dfrac{2}{2} } $ }[/tex]

[tex]\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf r = -\: \dfrac{1}{2} }[/tex]

Substituindo esses valores na fórmula geral, temos:

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ a_n = a_1 + (n -1) \cdot r } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ a_{20} = 1 + (20 -1) \cdot \left( -\: \dfrac{1}{2} \right) } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ a_{20} = 1 +19 \cdot \left( -\: \dfrac{1}{2} \right) } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ a_{20} = 1 - \dfrac{19}{2} } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ a_{20} = \dfrac{2}{2} - \dfrac{19}{2} } $ }[/tex]

[tex]\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf a_{20} = -\: \dfrac{17}{2} }[/tex]

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Resposta:

[tex]\textsf{Segue a resposta abaixo}[/tex]

Explicação passo-a-passo:

[tex] \mathsf{ PA\left(1,\dfrac{1}{2},0,\dotsc\right)}[/tex]

[tex] \mathsf{a_n=a_1+(n-1)\cdot r }[/tex]

[tex] \mathsf{ a_{20}=1+(20-1)\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)}[/tex]

[tex] \mathsf{a_{20}=1+(19)\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right) }[/tex]

[tex] \mathsf{a_{20}=1+\left(-\dfrac{19}{2}\right) }[/tex]

[tex] \mathsf{a_{20}=\dfrac{2+(-19)}{2} }[/tex]

[tex]\boxed{\boxed{ \mathsf{a_{20}=-\dfrac{17}{2}}} }[/tex]