je ne mets pas les flèches sur les vecteurs

u(-1;3;1)    v(0;1;2)    w(1;1;3)

1) Les trois vecteurs sont coplanaires signifie qu'il existe deux réels a et b tels que  w = au + bv  (chacun peut être une combinaison linéaire des deux autres).

j'écris les relations analogues concernant les coordonnées :

(abs.w = a abs.u + b abs.v)     (il y en a 3)

1 = a(-1) +0b      1 = 3a +1b    3 = 1a + 2b . On obtient 3 équations à 2 inconnues. En résolvant le système formé par les 2 premières on trouve a = -1 et b = 4. On remplace a et b par ces valeurs dans la 3e équation. On obtient  3 = -1 + 8,  égalité fausse. On ne peut pas trouver a et b tels que w = au + bv, ces vecteurs ne sont pas coplanaires.

2)  t(-5;4;-5)

on cherche a,b,c tels que  t = au + bv + cw

même méthode qu'au 1)

abs.t = a abs.u + b abs.v + c abs.w

-5 = -1a + 0b + 1c  ;  4 = 3a + 1b + 1c  ;  -5 = 1a + 2b + 3c      soit

1*) -5 = -a + c   ; 2*) 4 = 3a + b + c  ; 3*) -5 = a + 2b + 3c

système de 3 équations à 3 inconnues. On combine ces équations pour se ramener à un système de 2 équations à 2 inconnues.

je multiplie par 2 les deux membres de 2*   8 = 6a + 2b + 2c et on retranche 3* on obtient  8 + 5 = 5a - c

cette équation et l'équation 1* permettent de trouver a et c.

résultat a = 2 ; b = 1 et c = -3

t = 2u + v - 3w

j'ai vérifié ça semble bon