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Bonjour

Question 1

Si N = 3 alors la boucle devient :

Pour k allant de 0 à 2

U <--- 3 U - 2k + 3

Fin Pour

Initialisation : U <--- 0, k <--- 0

Premier passage dans la boucle :

U <--- 3×0 -2×0+3 donc U <--- 3

k <--- 1

Deuxième boucle :

U <--- 3×3 -2×1+3 donc U <--- 10

k <--- 2

Troisième boucle :

U <--- 3×10 -2×2+3 donc U <--- 29

k <--- 3

Donc à la fin de la troisième boucle k > N-1, la condition pour effectuer une quatrième boucle n'est plus respectée : Fin de la boucle Pour

Lorsque N=3, l'algorithme affiche U = 29.

Question 2

et

Donc

(On retrouve bien sûr les valeurs calculées à la question 1, lors du passage des deux premières boucles de l'algorithme.)

Question 3

Initialisation

On sait que   donc

Hiérarchisation

Si il existe un entier naturel p tel que alors

⇔ ⇔

⇔ ⇔

⇒

Donc

Donc si il existe un entier naturel p tel que alors

Conclusion :

La propriété est vérifiée au rang n = 0 et est héréditaire.

Donc pour tout n ∈ |N,

Question 4

Pour démontrer que la suite est croissante, calculons

Nous avons démontrer à la question précédente que pour tout n ∈ |N,

Donc et donc

Par conséquent

Conclusion : la suite est croissante.

Question 5a

Pour démontrer que est une suite géométrique, calculons

Or donc

Donc

Conclusion :   est donc une suite géométrique de raison 3.

Question 5b

étant une suite géométrique de raison 3,

(formule du cours)

(En effet ; ;

; .... ; )

De plus donc

Par conséquent,

Donc ⇔ ⇔

Question 6a

En calculant successivement les termes de à partir de l'équation , nous trouvons :

et

est donc le premier terme de la suite supérieur ou égal à 10³.

Conclusion :

Question 6b

Voir l'algorithme en pièce jointe réalisé avec Algobox

pow(10,p) signifie

et, bien sûr, pow(3,n) signifie

Bon courage