20 POINTS !!!Bonsoir, pouvez-vous m'aider à faire cet exercice, s'il vous plaît ? Merci d'avance !.... Pergunta de ideia deKodaSim

KodaSim @KodaSim

January 2021 1 119 Report

20 POINTS !!!

Bonsoir, pouvez-vous m'aider à faire cet exercice, s'il vous plaît ? Merci d'avance !

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godetcyril

Réponse : Bonsoir,

1) On a : $|u|=\sqrt{(\frac{1}{2})^{2}+(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}=1$ .

Si $\theta=\arg(u) \: [2\pi]$ , alors:

$\cos(\theta)=\frac{\frac{1}{2}}{1} \quad \sin(\theta)=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1}\\\cos(\theta)=\frac{1}{2} \quad \sin(\theta)=\frac{\sqrt{3}}{2}\\\theta=\frac{\pi}{3} \; [2\pi]$ .

Donc $u=e^{i\frac{\pi}{3}}$ .

2) $u^{3}=(e^{i\frac{\pi}{3}})^{3}=e^{i\pi}$ .

L'écriture de $u^{3}$ , sous forme algébrique est:

$u^{3}=e^{i\pi}=\cos(\pi)+i\sin(\pi)=-1+0=-1$ .

3) $u^{4}=(e^{i\frac{\pi}{3}})^{4}=e^{i\frac{4\pi}{3}}=\cos(\frac{4\pi}{3})+i\sin(\frac{4\pi}{3} )=-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}=-u\\u^{5}=(e^{i\frac{\pi}{3}})^{5}=e^{i\frac{5\pi}{3}}=\cos(\frac{5\pi}{3})+\sin(\frac{5\pi}{3})=\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}\\-u^{2}=-(e^{i\frac{\pi}{3}})^{2}=-e^{i\frac{2\pi}{3}}=-(\cos(\frac{2\pi}{3})+i\sin(\frac{2\pi}{3})=-(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})=\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}\\Donc \; u^{5}=-u^{2}$ .