(UFG GO/2011) Uma casa de espetáculos, com 1000 lugares, deseja planejar o investimento em publicidade para a divulgação de um show, levando-se em conta a experiência em duas ocasiões semelhantes. Em uma dessas ocasiões, a casa gastou 3.000 reais com publicidade e vendeu 500 ingressos. Em outro show, com um investimento de 5.000 reais, foram vendidos 700 ingressos. Considerando que a demanda por ingressos seja dada por uma função do primeiro grau do valor investido em publicidade:
a) quantos ingressos a casa venderia sem investir em publicidade?
b) qual é o investimento necessário, em publicidade, para se lotar a casa?
a) quantos ingressos a casa venderia sem investir em publicidade?
b) qual é o investimento necessário, em publicidade, para se lotar a casa?
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Veja que o problema nos diz que a demanda de ingressos dessa casa de espetáculos varia em função do investimento em publicidade como uma função do primeiro grau. Isto é, teremos y (demanda de ingressos) variando em função de x (investimento publicitário) na forma:
y = ax +b
Ainda sabemos que, quando o investimento foi de 3.000 R$ (x = 3.000), a demanda de ingressos foi de 500 unidades (y = 500). Esse é um par ordenado (3.000, 500) que pertence à nossa função.
Do mesmo modo, quando o investimento foi de 5.000 R$ (x = 5.000), a demanda de ingressos foi de 700 unidades (y = 700). Ou seja, o par ordenado (5.000, 700) também pertence a essa função.
Tendo em mente os dois pares ordenados mencionados, podemos construir o seguinte sistema com base na forma geral de uma função do primeiro grau (y = ax +b):
Vamos resolver o sistema pelo método da substituição, isolando b na primeira equação:
Agora podemos substituir esse valor parcial na segunda equação do sistema:
Conhecendo o valor de a na função, podemos encontrar o valor real de b:
Veja que já conhecemos os valores de a e b. Portanto, podemos enfim conhecer a função que origina esse problema:
Conhecendo a função, podemos responder as alternativas:
a) Lembre-se que o investimento em publicidade na função é representado por x. Então, sem investir em publicidade (x = 0), a casa venderá y ingressos, tal que:
Logo, sem investimento em publicidade, a casa venderia 200 ingressos.
b) A casa tem 1.000 lugares disponíveis. Então, a casa será lotada quando y = 1.000 e isso custará um investimento de x R$:
Portanto, o investimento necessário para se lotar a casa é de 8.000 R$.
Bons estudos!