Réponse:

Pour montrer que f’(x) = 0,4xe^0,4x - 2, il suffit d’utiliser la formule de la dérivée d’un produit et la dérivée de la fonction exponentielle. On a :

f’(x) = (x - 2,5)‘e^0,4x + (x - 2,5)e^0,4x 0,4 f’(x) = e^0,4x + (x - 2,5)e^0,4x 0,4 f’(x) = e^0,4x (1 + 0,4x - 1) + (x - 2,5)e^0,4x 0,4 f’(x) = e^0,4x 0,4x + (x - 2,5)e^0,4x 0,4 f’(x) = 0,4xe^0,4x - 2

Pour calculer f"(x), il suffit de dériver à nouveau f’(x) en utilisant la formule de la dérivée d’un produit et la dérivée de la fonction exponentielle. On a :

f"(x) = (0,4xe^0,4x - 2)’ f"(x) = (0,4xe^0,4x)’ - 2’ f"(x) = (0,4x)'e^0,4x + 0,4xe^0,4x 0,4 - 0 f"(x) = 0,4e^0,4x + 0,4xe^0,4x 0,4 f"(x) = 0,4e^0,4x (1 + 0,4x) f"(x) = 2/25 (2x + 5)e^0,4x

Pour étudier la convexité de f sur [-5;7], il suffit d’étudier le signe de f"(x) sur cet intervalle. On remarque que le facteur e^0,4x est toujours positif, donc le signe de f"(x) dépend uniquement du facteur 2x + 5. On a :

f"(x) > 0 si et seulement si 2x + 5 > 0 si et seulement si x > -5/2 f"(x) < 0 si et seulement si 2x + 5 < 0 si et seulement si x < -5/2 f"(x) = 0 si et seulement si 2x + 5 = 0 si et seulement si x = -5/2

On peut donc dresser le tableau de signe et de variation suivant :

x | -5 | -5/2 | 7 f"(x) | - | 0 | + f’(x) | \ | / | / f(x) | / | \ | /

On en déduit que f est concave sur [-5;-5/2] et convexe sur [-5/2;7]. Le point d’abscisse -5/2 est un point d’inflexion de la courbe représentative de f.