Exercice 6 On donne le programme de calcul suivant :
a) Effectuer ce programme lorsque le nombre de départ est -3 et montrer qu'on obtient -6.
b) Effectuer ce programme lorsque le nombre de départ est 10.
c) Effectuer ce programme lorsque le nombre de départ est 3/2
d) Quelle conjecture peut-on émettre?
e) Démontrer cette conjecture. Choisir un nombre. Ajouter 1. Calculer le carré du résultat obtenu. Soustraire le carré du nombre de départ. Soustraire 1.
a) Effectuer ce programme lorsque le nombre de départ est -3 et montrer qu'on obtient -6.
b) Effectuer ce programme lorsque le nombre de départ est 10.
c) Effectuer ce programme lorsque le nombre de départ est 3/2
d) Quelle conjecture peut-on émettre?
e) Démontrer cette conjecture. Choisir un nombre. Ajouter 1. Calculer le carré du résultat obtenu. Soustraire le carré du nombre de départ. Soustraire 1.
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Réponse:
a) (-3 + 1)² - 9 - 1 = 4 - 9 - 1 = -6
b) (10 + 1)² - 10² - 1 = 20
c) (5/2)² - (3/2)² - 1
= 25/4 - 9/4 - 1
= 16/4 - 1
= 4 - 1
= 3
d) Comme on obtient le double du nombre de départ pour a) b) et c), on conjecture que le programme de calcul donne le double du nombre de départ.
e) Soit x le nombre de départ.
Le programme équivaut à la fonction
f(x) = (x+1)² - x² - 1
= x² + 2x + 1 - x² - 1 (identité remarquable (a+b)²)
= 2x.
Notre conjecture est alors vérifiée.