Soit ABCD un carré dont le coté mesure 5cm. On considère un point I sur [AB], puis les points J,K,L sur [BC], [CD] et [DA] tels que AI=BJ=CK=DL.
On admettra que IJKL est un carré, on se propose de déterminer la position du point I pour que l'aire du carré IJKL soit minimale.
1) on pose AI = x, et on note f(x) l'aire du carré IJKL
a) Quel est l'ensemble de définition Df des valeurs possibles de x ?
Ça j'ai trouvé c'est [0;5]
b) Démontrer que, pour tout réels x appartient à Df f(x)=2x2-10x(25/2)
c) De même que le b) avec f(x)=2(x-(5/2))2+(25/2)
On admettra que IJKL est un carré, on se propose de déterminer la position du point I pour que l'aire du carré IJKL soit minimale.
1) on pose AI = x, et on note f(x) l'aire du carré IJKL
a) Quel est l'ensemble de définition Df des valeurs possibles de x ?
Ça j'ai trouvé c'est [0;5]
b) Démontrer que, pour tout réels x appartient à Df f(x)=2x2-10x(25/2)
c) De même que le b) avec f(x)=2(x-(5/2))2+(25/2)
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AB = 5 cm
a)
0 <= x <= 5 cm x ∈ [ 0 ; 5 ] car I sur [AB]
b)
IJB est un triangle rectangle au B.
IJ² = IB² + BJ² = (5 -x)² + x² = x² - 10 x + 25 + x²
= 2 x² - 10 x + 25
IJ est le cote du carré IJKL.
L'aire du carré IJKL = IJ² = 2 x² - 10 x + 25 = f(x)
c)
f(x) = 2 (x² - 5 x + 25/2)
= 2 [ x² - 2 * x * 5/2 + (5/2)² - (5/2)² + 25/2 ]
= 2 [ (x - 5/2)² + 25/4 ]
====================
Il faut trouver le valeur du x tel que le valeur de f(x) est le minimum.
si x = 5/2, la partie en carre (x - 5/2)² est nulle. Si x ≠ 5/2, (x-5/2)² est toujours positif et donc, f(x) n'est pas le minimum.
f(x) est minimum quand x = 5/2.
le valeur minimale de f(x) : l'aire du IJKL = 2 [ 0 + 25/4 ] = 25/2 = 12,5 cm²