10 POINTS et 5 DE PLUS POUR LA MEILLEURE REPONSE Bonjour, voilà une partie de mon devoir de maths spé (terminale) que je n'arrive pas à faire.
Dans une zone de marais, on s'intéresse à la population des libellules.
On note P0 (0 en indice) la population initiale et Pn la population au bout de n années.
Des études ont permis de modéliser l'évolution de Pn par la relation suivante:
Pour tout entier naturel n, on a: Pn+2 = (3/2)*Pn+1 - 1/2*Pn
On suppose que P0= 40 000 et P1= 60 000.
1) Calculer P2 et P3
2) On considère pour tout entier naturel n la matrice colonne Vn définie ci-dessous:
Vn=
a) Montrer que, pour tout entier naturel n: Vn= A*Vn où A est une matrice carrée d'ordre 2 à préciser.
b) Soient P et D les matrices: P=
D=
Déterminer l'inverse de P à la calculatrice et vérifier à la main que A=P*D*l'inverse de P
c) En admettant que les puissances de la matrice D se déterminent e, calculant les puissances des éléments de la diagonale principale, déterminer l'expression de An (n comme exposant) en fonction de n
d) On admet que le résultat de la question a permis d'affirmer que, pour tout entier naturel n,
Vn= An (n comme exposant) * V0 (0 comme indice)
Déterminer alors l'expression de Pn e fonction de n.
Dans une zone de marais, on s'intéresse à la population des libellules.
On note P0 (0 en indice) la population initiale et Pn la population au bout de n années.
Des études ont permis de modéliser l'évolution de Pn par la relation suivante:
Pour tout entier naturel n, on a: Pn+2 = (3/2)*Pn+1 - 1/2*Pn
On suppose que P0= 40 000 et P1= 60 000.
1) Calculer P2 et P3
2) On considère pour tout entier naturel n la matrice colonne Vn définie ci-dessous:
Vn=
a) Montrer que, pour tout entier naturel n: Vn= A*Vn où A est une matrice carrée d'ordre 2 à préciser.
b) Soient P et D les matrices: P=
D=
Déterminer l'inverse de P à la calculatrice et vérifier à la main que A=P*D*l'inverse de P
c) En admettant que les puissances de la matrice D se déterminent e, calculant les puissances des éléments de la diagonale principale, déterminer l'expression de An (n comme exposant) en fonction de n
d) On admet que le résultat de la question a permis d'affirmer que, pour tout entier naturel n,
Vn= An (n comme exposant) * V0 (0 comme indice)
Déterminer alors l'expression de Pn e fonction de n.
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