Bonjour, Quelqu'un pourrait-il me venir en aide pour cette exercice? Prouver que cos^4x + sin^4x= .... Pergunta de ideia dePetitnuage36

May 2019 1 75 Report

Bonjour,
Quelqu'un pourrait-il me venir en aide pour cette exercice?

Prouver que
cos^4x + sin^4x= 1-1/2sin^2*2x

J'ai la correction sous les yeux, mais je comprends pas vraiment la démarche.
Si quelqu'un pouvait venir m'expliquer.
Merci d'avance !

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Dreamus Rebonjour,

Il faut en fait partir du terme de droite.

$1- \frac{1}{2}sin^2*2x$

Tu mets sur le même dénominateur :

$1- \frac{1}{2}sin^2*2x$
$= \frac{2}{2} - \frac{1sin^2(2x)}{2}$
$= \frac{2-sin^2(2x)}{2}$

Tu retournes une formule :

$cos^2x+sin^2x = 1$
$-sin^2x = cos^2x-1$

Tu remplaces :

$\frac{2+(cos^x-1)*2x}{2}$

Factorise cos²x - 1 en utlisant une identité remarquable.

$cos^2x-1 = cos^2 -1^2 = \left(\cos \left(x\right)-1\right)\left(\cos \left(x\right)+1\right)$

$= \frac{2-[(cos(x)-1)(cos(x)+1)]*2}{2}$

Tu distribues le 2.

$= \frac{2-(cos(2x)-1)(cos(2x)+1)}{2}$

Maintenant, regardons le numérateur et simplifions le :

$2-(cos(2x)-1)(cos(2x)+1)=2+(cos(2x)-1) (cos(2x)+1)$

Bah tu développes ici :

a² - b² = (a-b)(a+b)

Ici, a = cos(2x) et b = 1

Donc ça donne : $(cos(2x)-1) (cos(2x)+1) = cos^2(2x) - 1$

Puis on recontinue,

$2 + cos^2(2x) - 1 = cos^2(2x) -1 + 2 = cos^2(2x) + 1$

Du coup, maintenant on revient avec la fraction qui est maintenant beaucoup plus légère !!!!

$= \frac{1+cos^2(2x)}{2}$

Mais on va recompliquer la chose ^^'. On sait que :

$cos^2x+sin^2x = 1$

Donc appliquons la !

$= \frac{sin^2(2x)+cos^2(2x)+cos^2(2x)}{2}$

Après t'as du apprendre que : $\sin \left(2x\right)=2\cos \left(x\right)\sin \left(x\right)$

Donc utilisons la !

$\frac{\left(2\cos \left(x\right)\sin \left(x\right)\right)^2+2\cos ^2\left(2x\right)}{2}$

Le 2cos, c'est parce qu'on a addtioné les 2 cos ok ? :D

On simplifie maintenant ! Pour cela, on applique la règle :

$a^n*b^n= (a*b)^n$

ça donne :

$= \frac{2^2cos^2(x)sin^2(x)+2cos^2(2x)}{2}$

$= \frac{4cos^2(x)sin^2(x)+2cos^2(2x)}{2}$

Occupe toi à nouveau du numérateur et factorise le par 2 !

$4cos^2(x)sin^2(x)+2cos^2(2x) = 2(cos^2(x)sin^2(x)+cos^2(2x)$

Tu reviens à la fraction, ça donne :

$\frac{2(cos^2(x)sin^2(x)+cos^2(2x)}{2}$

Tu simplifies par 2 :

$= cos^2(x)sin^2(x)+cos^2(2x)$
$=\cos ^2\left(2x\right)+2\cos ^2\left(x\right)\sin ^2\left(x\right)$

Puis, tu vas utiliser ça : $\cos \left(2x\right)=\cos ^2\left(x\right)-\sin ^2\left(x\right)$

$=\left(\cos ^2\left(x\right)-\sin ^2\left(x\right)\right)^2+2\cos ^2\left(x\right)\sin ^2\left(x\right)$

Tu simplifies encore une fois !!!!!!!

$\left(\cos ^2\left(x\right)-\sin ^2\left(x\right)\right)^2+2\cos^2\left(x\right)\sin ^2\left(x\right)$

$= \left(\cos ^2\left(x\right)-\sin ^2\left(x\right)\right)^2$
$=\cos ^4\left(x\right)-2\cos ^2\left(x\right)\sin ^2\left(x\right)+\sin ^4\left(x\right)$

On applique cette formule : $\left(a-b\right)^2=a^2-2ab+b^2$

$=\left(\cos ^2\left(x\right)\right)^2-2\cos ^2\left(x\right)\sin ^2\left(x\right)+\left(\sin ^2\left(x\right)\right)^2$

Et tu resimplifies !!!! (J'en ai marre de simplifier autant !)

Pour cela tu utilises ça : $\left(a^b\right)^c=a^{bc}$

$\left(\cos ^2\left(x\right)\right)^2=\cos ^4\left(x\right)$

$(sin^2(x)^2))^2 = sin^4(x)

$

On obtient donc :

$=\cos ^4\left(x\right)-2\cos ^2\left(x\right)\sin ^2\left(x\right)+\sin ^4\left(x\right)+2\cos ^2\left(x\right)\sin ^2\left(x\right)$

Tu regroupes les termes :

$= \cos ^4\left(x\right)+\sin ^4\left(x\right)-2\cos ^2\left(x\right)\sin ^2\left(x\right)+2\cos ^2\left(x\right)\sin ^2\left(x\right)$

Il n'y donc plus de : $2\cos ^2\left(x\right)\sin ^2\left(x\right)$

Et enfin on obtient :

$= \boxed {cos^4(x)+sin^4(x)}$

J'espère t'avoir aidé !

Dreamus

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Dreamus Ton prof est un fourbe !