bonjour, pourriez vous m'aider avec cette question s'il-vous-plaît.
Soit Un=x et Vn=y. Un>0 et Vn>0.
Un+1=√(UnVN) et Vn+1= (Un+Vn)/2.
U1= 2 U2=√5,8 V1=2,9 et V2=2,45.
Vn semble donc décroissante (et converge vers 2,4)
et Un semble croissante (et converge vers 2,4)
Ma question est: déduire de 2xy≤x^2+y^2 (pour tout réel x et y) que pour tout n€N* Un≤Vn?
Aidez-moi vite s'il-vous-plaît. Je n'arrive pas au résultat attendu et j'y suis depuis plus d'une semaine...
Soit Un=x et Vn=y. Un>0 et Vn>0.
Un+1=√(UnVN) et Vn+1= (Un+Vn)/2.
U1= 2 U2=√5,8 V1=2,9 et V2=2,45.
Vn semble donc décroissante (et converge vers 2,4)
et Un semble croissante (et converge vers 2,4)
Ma question est: déduire de 2xy≤x^2+y^2 (pour tout réel x et y) que pour tout n€N* Un≤Vn?
Aidez-moi vite s'il-vous-plaît. Je n'arrive pas au résultat attendu et j'y suis depuis plus d'une semaine...
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Réponse:
Pour déduire que pour tout n ∈ N* (les entiers naturels non nuls), Un ≤ Vn en utilisant l'inégalité 2xy ≤ x^2 + y^2, vous pouvez procéder comme suit :
1. Montrez que U1 ≤ V1 :
- U1 = 2 et V1 = 2,9.
- Vous avez 2 * 2,9 = 5,8 ≤ 2^2 + 2,9^2 = 4 + 8,41 = 12,41.
- L'inégalité 5,8 ≤ 12,41 est vraie, donc U1 ≤ V1 est confirmée.
2. Utilisez l'induction pour montrer que si Un ≤ Vn, alors Un+1 ≤ Vn+1 :
- Supposons que Un ≤ Vn soit vrai pour un certain n = k.
- Vous avez Un+1 = √(Un * Vn) et Vn+1 = (Un + Vn) / 2.
- Appliquez l'inégalité 2xy ≤ x^2 + y^2 avec x = Un et y = Vn : 2 * Un * Vn ≤ Un^2 + Vn^2.
- En utilisant l'hypothèse Un ≤ Vn, vous avez : 2 * Un * Vn ≤ Un^2 + Vn^2.
- Remplacez Un+1 et Vn+1 dans l'inégalité : Un+1 = √(Un * Vn) et Vn+1 = (Un + Vn) / 2.
- Vous obtenez : 2 * Un * Vn ≤ Un^2 + Vn^2 ≤ (Un+1)^2 + (Vn+1)^2.
- Simplifiez : 2 * Un * Vn ≤ Un^2 + Vn^2 ≤ Un^2 + 2 * Un * Vn + Vn^2.
- Les termes 2 * Un * Vn se simplifient, laissant : 2 * Un * Vn ≤ Un^2 + Vn^2 ≤ (Un + Vn)^2.
- En prenant la racine carrée des deux côtés de l'inégalité, vous obtenez : √(2 * Un * Vn) ≤ Un + Vn.
- Ensuite, divisez des deux côtés par 2 : Un * Vn ≤ (Un + Vn) / 2 = Vn+1.
- Donc, Un ≤ Vn+1.
En utilisant l'induction, vous avez montré que si Un ≤ Vn pour un certain n = k, alors Un ≤ Vn+1. Puisque vous avez déjà établi que U1 ≤ V1, cela signifie que pour tout n ∈ N*, Un ≤ Vn.