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Réponse:

Pour déduire que pour tout n ∈ N* (les entiers naturels non nuls), Un ≤ Vn en utilisant l'inégalité 2xy ≤ x^2 + y^2, vous pouvez procéder comme suit :

1. Montrez que U1 ≤ V1 :

- U1 = 2 et V1 = 2,9.

- Vous avez 2 * 2,9 = 5,8 ≤ 2^2 + 2,9^2 = 4 + 8,41 = 12,41.

- L'inégalité 5,8 ≤ 12,41 est vraie, donc U1 ≤ V1 est confirmée.

2. Utilisez l'induction pour montrer que si Un ≤ Vn, alors Un+1 ≤ Vn+1 :

- Supposons que Un ≤ Vn soit vrai pour un certain n = k.

- Vous avez Un+1 = √(Un * Vn) et Vn+1 = (Un + Vn) / 2.

- Appliquez l'inégalité 2xy ≤ x^2 + y^2 avec x = Un et y = Vn : 2 * Un * Vn ≤ Un^2 + Vn^2.

- En utilisant l'hypothèse Un ≤ Vn, vous avez : 2 * Un * Vn ≤ Un^2 + Vn^2.

- Remplacez Un+1 et Vn+1 dans l'inégalité : Un+1 = √(Un * Vn) et Vn+1 = (Un + Vn) / 2.

- Vous obtenez : 2 * Un * Vn ≤ Un^2 + Vn^2 ≤ (Un+1)^2 + (Vn+1)^2.

- Simplifiez : 2 * Un * Vn ≤ Un^2 + Vn^2 ≤ Un^2 + 2 * Un * Vn + Vn^2.

- Les termes 2 * Un * Vn se simplifient, laissant : 2 * Un * Vn ≤ Un^2 + Vn^2 ≤ (Un + Vn)^2.

- En prenant la racine carrée des deux côtés de l'inégalité, vous obtenez : √(2 * Un * Vn) ≤ Un + Vn.

- Ensuite, divisez des deux côtés par 2 : Un * Vn ≤ (Un + Vn) / 2 = Vn+1.

- Donc, Un ≤ Vn+1.

En utilisant l'induction, vous avez montré que si Un ≤ Vn pour un certain n = k, alors Un ≤ Vn+1. Puisque vous avez déjà établi que U1 ≤ V1, cela signifie que pour tout n ∈ N*, Un ≤ Vn.