Réponse :

Soit(un) la suite définie par: u0=0 et u(n+1)=1/2*Un+1. Montrer par récurrence que (Un) est majorée par 2 et (Un) est croissante.

P(n) : un ≤ 2   et   un+1 ≥ un

- initialisation : vérifions que pour n = 0 ; P(0) est vraie

                          u0 = 0 ≤ 2  donc  P(0) et vraie

- hérédité : supposons que pour un entier n ; P(n) est vraie et montrons que P(n+1) est vraie  c'est à dire qu'il faut montrer que  un+1 ≤ 2

un ≤ 2  ⇔ 1/2) un ≤ 2* 1/2  ⇔ 1/2)*un ≤ 1   ⇔ 1/2)*un + 1 ≤ 1 + 1

⇔  1/2)*un + 1 ≤ 2  ⇔ un+1 ≤ 2   donc  P(n+1) est vraie

- conclusion :  P(0) est vraie  et P(n) est héréditaire au rang n

donc  par récurrence  P(n) est vraie  pour tout entier naturel n

P(n) :   un+1 ≥ un

- initialisation : vérifions que P(0) est vraie

           u1  ≥ u0     or u1 = 1/2)*u0 + 1 = 1   donc u1 = 1 ≥ 0   donc P(0) est vraie

- hérédité : supposons que pour un entier n;  P(n) est vraie et montrons que P(n+1) est vraie ; donc il faut montrer que un+2 ≥ un+1

 un+1 ≥ un  ⇔  1/2)*un  + 1 ≥ un   ⇔ 1/2)*((1/2)*un + 1) ≥ 1/2)* un

⇔ 1/2)*((1/2)*un + 1)  + 1 ≥ 1/2)*un + 1

⇔ 1/2)*un+1  + 1 ≥ un+1

⇔ un+2 ≥ un+1    donc  P(n+1) est vraie

- conclusion : P(0) est vraie  et P(n) est héréditaire au rang n

donc par récurrence P(n) est vraie pour tout entier naturel n

donc la suite (un) est majorée par 2 et croissante

Explications étape par étape :