Réponse :

Pour étudier les variations d'une fonction, il faut étudier le signe de la fonction dérivée.

Avant de dériver, il faut s'assurer que la fonction est dérivable !

[tex]h[/tex] est dérivable sur [1;5] comme quotient de fonctions usuelles continues.

[tex]h(x) = \frac{2x}{2+\sqrt{x}}[/tex]

[tex]h'(x) = \frac{2(2+\sqrt{x})-2x(\frac{1}{2\sqrt{x}})}{(2+\sqrt{x})^2}\\\Longleftrightarrow h'(x) = \frac{4+2\sqrt{x}-\sqrt{x}}{(2+\sqrt{x})^2}\\\Longleftrightarrow h'(x) = \frac{4+\sqrt{x}}{(2+\sqrt{x})^2}[/tex]

Maintenant, on étudie le signe de [tex]h'[/tex] :

[tex]4+\sqrt{x} > 0[/tex] sur [1;5] car [tex]\sqrt{x} > 0[/tex] sur [1;5].

[tex](2+\sqrt{x})^2 > 0[/tex] sur [1;5] car c'est un carré.

Donc [tex]h'(x) = \frac{4+\sqrt{x}}{(2+\sqrt{x})^2}[/tex] est strictement positive sur [1;5]. Donc [tex]h[/tex] est strictement croissante sur [1;5].