( PISM  UFJF 2022 ) Ao final de um dia de trabalho, os garçons João, Antônio e Paulo dividiram entre si,[tex]\textstyle \sf \text {$ \sf R\$ \:300,00 $ }[/tex] em gorjetas. Antônio trabalhou por um período maior de tempo, e por isso, ele recebeu 2/3 da soma das gavetas obtidas por Paulo e João. Paulo recebeu [tex]\textstyle \sf \text {$ \sf R\$ \:40,00 $ }[/tex] a menos que João.

Após os cálculos realizados e analisado concluímos que a solução que ao final do dia de trabalho os garçons recebam sua quantias referente  ao seu período de dia trabalho,João recebeu [tex]\textstyle \sf \text {$ \sf R\$ \:110,00 $ }[/tex], Antônio recebeu [tex]\textstyle \sf \text {$ \sf R\$ \:120,00 $ }[/tex]  e [tex]\textstyle \sf \text {$ \sf R\$ \:70,00 $ }[/tex].

Sistemas de equações lineares: é um conjunto de equações lineares.

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \begin{cases} \sf a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + a_{13} x_3 + ... a_{1n} x_n = b_1 \\ \sf a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + a_{23} x_3 + ... a_{2n} x_n = b_2 \\ \sf a_{m1} x_1 + a_{m2} x_2 + a_{m3} x_3 + ... a_{mn} x_n = b_m\end{cases} } $ }[/tex]

Dados fornecidos pelo enunciado:

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \begin{cases} \sf A + P + J = 300 \\ \sf A = \dfrac{2}{3} \cdot (P + J) \\ \\ \sf P = J - 40 \end{cases} } $ }[/tex]

Solução:

Resolvendo separadamente, temos:

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ A + P+J = 300 } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ A + J-40 +J = 300 } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ A +2J = 300+40 } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ A +2J = 340 } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ 3A = 2P +2J } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ 3A = 2 \cdot (J-40) +2J } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ 3A = 2J - 80 +2J } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ 3A = 4J - 80 } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{3A-4J = - 80 } $ }[/tex]

Formando o sistema de equação, temos:

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \begin{cases} \sf A + 2J = 340 \quad \times (2)\\\sf 3A -4J = -80 \end{cases} } $ }[/tex]

[tex]\Large \underline{\displaystyle \text { $ \mathsf{ \begin{cases} \sf 2A + \Big/ \mkern -15mu 4J = 680 \\ \sf 3A - \Big/ \mkern -15mu 4J = -80 \end{cases} } $ }}[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ 5A = 600 } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ A = \dfrac{600}{5} } $ }[/tex]

[tex]\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf A = 120 }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ A +2J = 340 } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ 120 +2J = 340 } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{2P = 340 - 120 } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ 2J = 220 } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ J = \dfrac{220}{2} } $ }[/tex]

[tex]\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf J = 110 }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ P = J - 40 } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ P = 110 -40 } $ }[/tex]

[tex]\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf P = 70}[/tex]

Portanto, ao final do dia de trabalho os garçons recebam sua quantias referente  ao seu período de dia trabalho,João recebeu [tex]\textstyle \sf \text {$ \sf R\$ \:110,00 $ }[/tex], Antônio recebeu [tex]\textstyle \sf \text {$ \sf R\$ \:120,00 $ }[/tex]  e [tex]\textstyle \sf \text {$ \sf R\$ \:70,00 $ }[/tex].

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