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Réponse :

Bonne année,

Explications étape par étape :

J'ai décidé de remettre un peu d'ordre dans la démonstration.

Elle repose uniquement sur la propriété:

le  carré d'un réel est positif.

[tex]\forall x,y \in \mathnn{R}^+:\\\\\left\{\ \begin{array} {ccc}x+y&=&1\\\dfrac{x^2}{x+1} +\dfrac{y^2}{y+1} &\geq &\dfrac{1}{3} \\\end {array} \right.\\[/tex]

[tex]x+y=1\\(x+y)^2=1^2\\x^2+y^2+2xy=1\\x^2+y^2=1-2xy\\\\(x-y)^2\geq 0\\x^2+y^2-2xy \geq 0\\x^2+y^2-2xy +4xy\geq 4xy\\(x+y)^2\geq 4xy\\1^2\geq 4xy\\1\geq 4xy\\3-2\geq 3xy+xy\\3-3xy\geq 2+xy\\\\\boxed{\dfrac{1-xy}{xy+2}\geq \dfrac{1}{3} } \\[/tex]

[tex]\dfrac{1-xy}{xy+2}\geq \dfrac{1}{3} \\\\\\\dfrac{1-2xy+xy}{xy+1+1}\geq \dfrac{1}{3} \\\\\dfrac{x^2+y^2+xy*1}{xy+x+y+1}\geq \dfrac{1}{3} \\\\\dfrac{x^2+y^2+xy*(x+y)}{(x+1)(y+1)}\geq \dfrac{1}{3} \\\\\dfrac{x^2+y^2+x^2y+xy^2}{(x+1)(y+1)}\geq \dfrac{1}{3} \\\\\dfrac{x^2*(1+y)+y^2*(1+x)}{(x+1)(y+1)}\geq \dfrac{1}{3} \\\\\\\boxed{\dfrac{x^2}{x+1}+\dfrac{y^2}{y+1}\geq \dfrac{1}{3}} \\[/tex]