Réponse :

Bonsoir,

Explications étape par étape :

[tex]\left\{\begin{array}{ccc}v_0&=&-\dfrac{3}{2} \\v_{n+1}&=&\dfrac{2}{3} v_n-1\\\end {array} \right.\\\\Recherche\ de\ la\ limite\ si\ elle\ existe:\\\\x=\dfrac{2}{3}x-1 \\\\\dfrac{1}{3}x=-1\\\\x=-3\\\\On\ pose\ t_n=v_n+3\\\\t_{n+1}=v_{n+1}+3\\\\=\dfrac{2}{3}v_n -1+3\\\\=\dfrac{2}{3}v_n +2\\\\=\dfrac{2}{3}*(v_n +3)\\\\t_{n+1}=\dfrac{2}{3}*t_n\\t_0=v_0+3=\dfrac{-3}{2} +3=\dfrac{3}{2} \\\\t_n=\dfrac{3}{2}*{(\dfrac{2}{3})}^n\\\\\boxed{t_n={(\dfrac{2}{3})}^{n-1}}\\\\[/tex]

[tex]v_n={(\dfrac{2}{3})}^{n-1} }-3\\\\w_n=2*v_n+6=2*(v_n+3)=2*t_n=2*{(\dfrac{2}{3})}^{n-1} }\\\\w_0=2*t_0=2*\dfrac{3}{2} =3\\[/tex]

(w(n)) est donc géométrique de raison 2/3