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Dans une division euclidienne le reste est inférieur au diviseur

1)

Si le quotient est 11 et le reste r   (r est un naturel)

r < 11                    r ⋲ {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10}

2)

14 / 11 = 1,27272727......

quand on divise un nombre par 11 le nombre des restes est limité

( il y en a 11)

au bout d'un certain nombre de divisions on va forcément retrouver un reste déjà écrit.

A ce moment là les chiffres du diviseur vont se répéter.

  14        |_11__

   3 0         1,272

      8 0

        3 0

             8

Dans la division de 14 par 11 les deux premiers restes sont 3 et 8, le 3e est à nouveau 3. Au quotient les chiffres vont se répéter

3)

dans un division par 333 le plus grand reste possible est 332.

1427 / 333 = 4,285285285...................

1427                |__333_____

  950                  4,285

  2840

    1760

        95

les restes sont 95, 284, 176, 95

à partir du moment où on a retrouvé 95 les divisions se répètent

4)

un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire sous forme d'une fraction

Si l'on divise le numérateur par le dénominateur :

lorsque la division se termine on a une nombre décimal

7/8 = 0,875

lorsque la division ne se termine pas comme il y a un nombre limité de restes possibles on finira par trouver un reste déjà écrit et les décimales se répéteront .

On obtient un développement décimal illimité qui présente la particularité d'avoir un groupe de chiffres qui se répète, on l'appelle une période

12, 16578 13578 1357813578...........