SALUT ⚠️ Pouvez-vous m'aider svp ?
Soit f la fonction définie sur I = ]-∞; -1[U]0;+∞[ par: f(x)=x²+ln(1+1/x)
Soit (lettre majuscule grecque gamma) la courbe représentative de f dans un repère orthonormé.
PARTIE A
Soit p la fonction définie sur R par p(x)=2x³+2x²-1
1) dresser le tableau de variations de p
2) Montrer alors que l'équation p(x)=0 admet une unique solution α sur R et que 0≤α≤1
3)Justifier que α vérifie α²= 1/2(α+1)
4)En déduire l'encadrement 1/4≤α²≤1/2, puis un encadrement de α
5)Donner le signe de p(x) sur R en fonction de x
PARTIE B
1)Déterminer les limites de f aux bornes de I et présenter les éventuelles asymptotes de (la lettre majuscule grecque gamma)
2)Calculer f'(x), puis l'exprimer en fonction de p(x)
3)Déduire de la PARTIE A le signe de f' (x) sur I
4)Justifier que 1+1/α = 1/2α³ et en déduire que f(α)=α²-ln2-3lnα
5)A l'aide de l'encadrement de α, montrer que pour tout x>0, on a : f(x)≥(1+2ln2)/4
6)Dresser le tableau de variations complet de f sur I
7)Soit C la courbe représentative de la fonction g définie pour tout x réel par g(x)=x²
Etudier les positions relatives de (lettre majuscule grecque gamma)et de C sur I
8)En prenant comme unité graphique 2cm, tracer (lettre majuscule grecque Gamma), son asymptote verticale et C
Soit f la fonction définie sur I = ]-∞; -1[U]0;+∞[ par: f(x)=x²+ln(1+1/x)
Soit (lettre majuscule grecque gamma) la courbe représentative de f dans un repère orthonormé.
PARTIE A
Soit p la fonction définie sur R par p(x)=2x³+2x²-1
1) dresser le tableau de variations de p
2) Montrer alors que l'équation p(x)=0 admet une unique solution α sur R et que 0≤α≤1
3)Justifier que α vérifie α²= 1/2(α+1)
4)En déduire l'encadrement 1/4≤α²≤1/2, puis un encadrement de α
5)Donner le signe de p(x) sur R en fonction de x
PARTIE B
1)Déterminer les limites de f aux bornes de I et présenter les éventuelles asymptotes de (la lettre majuscule grecque gamma)
2)Calculer f'(x), puis l'exprimer en fonction de p(x)
3)Déduire de la PARTIE A le signe de f' (x) sur I
4)Justifier que 1+1/α = 1/2α³ et en déduire que f(α)=α²-ln2-3lnα
5)A l'aide de l'encadrement de α, montrer que pour tout x>0, on a : f(x)≥(1+2ln2)/4
6)Dresser le tableau de variations complet de f sur I
7)Soit C la courbe représentative de la fonction g définie pour tout x réel par g(x)=x²
Etudier les positions relatives de (lettre majuscule grecque gamma)et de C sur I
8)En prenant comme unité graphique 2cm, tracer (lettre majuscule grecque Gamma), son asymptote verticale et C
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