Bonjour, j'ai besoin d'aide, un exercice me pose problème : Soit (un), la suite définie sur N par u0=3 et pour tout n >, un+1 = 1/4 un²
1- Si la suite converge quelles sont les valeurs possible sur la limite l ?
J'ai répondu que soit on pouvait avoir une constante, la limite + infini ou - l'infini
Et je bloque à partir de ces questions :
2- Montrer que pour tout n de N 0 < un < 3
3- Etudier le sens de variation de la suite (un)
4- Prouver que (un) converge et préciser la limite
Merci pour votre aide et vos réponses
1- Si la suite converge quelles sont les valeurs possible sur la limite l ?
J'ai répondu que soit on pouvait avoir une constante, la limite + infini ou - l'infini
Et je bloque à partir de ces questions :
2- Montrer que pour tout n de N 0 < un < 3
3- Etudier le sens de variation de la suite (un)
4- Prouver que (un) converge et préciser la limite
Merci pour votre aide et vos réponses
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1) Si on considère la fonction f(x)=x²/4, la suite converge si à partir d'un rang n, on a f(Un)=Unsoit x=x²/4 soit (x/4-1)x=0 ⇔ x=4 ou x=0
Donc les limites possibles sont 4 et 0.
2) U0=3>0
Supposons qu'au rang n on ait Un>0
Alors Un²>0 et Un²/4>0 soit Un+1>0
Donc quelque soit n, Un>0
U1=3²/4=9/4<3 c'est vrai pour n=1
Supposons qu'au rang n on ait Un<3
Alors Un²<9 et Un²/4<9/4<3 donc Un+1<3
Donc quelque soit n, Un<3
3) Un+1/Un=Un/4 or Un<3 donc Un/4<3/4<1
donc quelque soit n un+1/Un<1 donc Un+1<Un
La suite un est décroissante.
4) Un est décroissante et minorée donc elle converge et limUn=0