Pela definição, a derivada de uma função y = f(x) é a função f'(x), na qual se lê f linha de x. Esse valor, para qualquer um dos f(x+Ax)=f(x) se esse limite existir. Dizemos que uma função é Ax pontos do domínio da função, corresponde a
f'(x) = lim Ax -> 0
derivável quando existe a derivada em todos os pontos de seu domínio. Descreva o resultado de f'(4) dada a função f(x)=√x aplicando a definição e assinale a alternativa que o corresponde. O a. 1 /4
O b. -1/4
O c. 4
O d.-4
O e. 0
f'(x) = lim Ax -> 0
derivável quando existe a derivada em todos os pontos de seu domínio. Descreva o resultado de f'(4) dada a função f(x)=√x aplicando a definição e assinale a alternativa que o corresponde. O a. 1 /4
O b. -1/4
O c. 4
O d.-4
O e. 0
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Resposta:
a) 1/4.
Explicação passo a passo:
Para encontrar a derivada de f(x) = √x utilizando a definição, precisamos aplicar a fórmula:
f'(x) = lim Ax -> 0 (f(x+Ax) - f(x)) / Ax
Substituindo a função dada, temos:
f'(4) = lim Ax -> 0 (√(4+Ax) - √4) / Ax
Para simplificar, podemos multiplicar numerador e denominador por (√(4+Ax) + √4), obtendo:
f'(4) = lim Ax -> 0 [(√(4+Ax) - √4) / Ax] * [(√(4+Ax) + √4) / (√(4+Ax) + √4)]
f'(4) = lim Ax -> 0 [(4+Ax) - 4] / [Ax(√(4+Ax) + √4)]
f'(4) = lim Ax -> 0 [Ax / (Ax(√(4+Ax) + √4))]
f'(4) = lim Ax -> 0 [1 / (√(4+Ax) + √4)]
Agora podemos substituir Ax por 0, já que estamos procurando o limite quando Ax se aproxima de 0:
f'(4) = 1 / (√4 + √4)
f'(4) = 1/4
Portanto, a alternativa correta é a letra a) 1/4.