Resposta:

a. Para uma data DD/MM/54 ser um dia fantástico, D, d, M, m devem ser 0, 1, 2 e 3, em alguma ordem, já que 4 e 5 estão presentes no ano. Como queremos o último dia fantástico desse ano, devemos buscar algum dia em dezembro. Assim, Mm = 12. Logo, como 30 é maior do que 03, o último dia fantástico de 2054 será 30/12/54.

b. No ano de 2001 não há dias fantásticos, pois não podemos escolher M, uma vez que, se Dd/Mm/Aa é fantástico, então, M = 0 ou M = 1. Além disso, nos anos de 2002, 2003, 2004 ou 2005, só poderá existir um dia fantástico se M = 1, já que 0 já foi utilizado. Nesse caso, devemos ter necessariamente m = 2, pois não podemos repetir o 1. Isso exclui a possibilidade de termos um ano fantástico em 2002. Para um dia ser fantástico em 2003, devemos ter D e d iguais a 5 e 4 em alguma ordem. Isso é impossível, pois dias assim não existem. Para termos um ano fantástico em 2004, devemos ter D e d iguais a 3 e 5 em alguma ordem. Isso também é impossível. Para termos um ano fantástico em 2005, devemos ter D e d iguais a 3 e 4 em alguma ordem. Impossível novamente.

O próximo ano a ser testado é 2010. Nesse caso, M não pode ser 1 ou 0. A seguir testamos 2012. Nesse caso, M = 0. Assim, D, d e m são 3, 4, 5 em alguma ordem (o que é impossível).

Finalmente, testamos 2013. Nesse caso, M = 0, enquanto D, d e m são, em alguma ordem, iguais a 2, 4 e 5. Como D = 0, 1, 2 ou 3, devemos ter D = 2. Assim, como queremos o primeiro dia após 1.º de janeiro de 2001, a resposta é 25/04/13, pois ela vem antes de 24/05/13.

c. Vimos que, entre 2001 e 2100, o primeiro ano com alguma data fantástica é 2013 (item b) e o último é 2054 (item a). Mantendo a notação Dd/Mm/Aa e lembrando que letras diferentes correspondem a números diferentes do conjunto {0, 1, 2, 3, 4, 5}, podemos dividir a contagem em dois casos disjuntos:

Caso 1: {A, a} é um subconjunto com dois elementos distintos de {2, 3, 4, 5}.

Para um dia 1d/0m/Aa ser fantástico, basta que d, m, A, a sejam uma permutação de {2, 3, 4, 5}. Logo, se {A, a} for um subconjunto com dois elementos distintos de {2, 3, 4, 5}, esse ano terá pelo menos um dia fantástico do tipo 1d/0m/Aa. Podemos formar 4 × 3 = 12 anos com essa condição.

Caso 2: {A, a} ⊂ {0, 1, 2, 3, 4, 5} não é um subconjunto com dois elementos distintos de {2, 3, 4, 5}. Há três subcasos:

• A ∈ {2, 3, 4, 5} e a ∉ {2, 3, 4, 5} (são os anos de 2020, 2021, 2030, 2031, 2040, 2041, 2050 e 2051); ou

• A ∉ {2, 3, 4, 5} e a ∈ {2, 3, 4, 5} (são os anos de 2013, 2014 e 2015, pois os anos de 2002, 2003, 2004, 2005 e 2012 não têm datas fantásticas, já que elas começam a aparecer em 2013); ou

• A ∉ {2, 3, 4, 5} e a ∉ {2, 3, 4, 5} (os anos de 2000, 2001, 2010 e 2011 não têm datas fantásticas, já que elas começam a aparecer em 2013).

Os anos 2020, 2030, 2040 e 2050 (terminados em 0) não têm datas fantásticas. De fato, nesses casos, M = 1, D = 2 (o caso D = 3 forçaria d = 0 ou d = 1, já utilizados) e m não poderia ser nenhum de seus possíveis valores 0, 1 ou 2, pois eles já foram utilizados.

O ano de 2021 não tem datas fantásticas. Nesse caso, como antes, M = 0, D = 2 e não poderíamos escolher m.

Todos os anos restantes ― 2013, 2014, 2015, 2031, 2041, 2051 ― têm datas fantásticas, que são da forma 2d/0m/A1 ou da forma 2d/0m/1a, bastando escolher d, m e a como elementos de uma permutação de {3, 4, 5}. No total do caso 2, há, portanto, 6 possibilidades.

Juntando os casos 1 e 2, vemos que há um total de 12 + 6 = 18 anos com pelo menos um dia fantástico. Os anos que possuem alguma data fantástica são os seguintes.

2013 (25/04/13 é um exemplo)

2014 (23/05/14)

2015 (23/04/15)

2023 (14/05/23)

2024 (15/03/24)

2025 (13/04/25)

2031 (24/05/31)

2032 (14/05/32)

2034 (12/05/34)

2035 (14/02/35)

2041 (23/05/41)

2042 (13/05/42)

2043 (12/05/43)

2045 (13/02/45)

2051 (23/04/51)

2052 (13/04/52)

2053 (14/02/53)

2054 (30/12/54)

Os demais anos entre 2001 e 2100 não possuem datas fantásticas.