5ème W P A X R X N ** S WM * D.M. DE MATHEMATIQUES - Exercice n°1 : Jack Sparrow est à la recherche d'un nouveau trésor. Il s'est procuré une carte sur laquelle il y a 3 repères : le point M représente l'emplacement de la montagne sacrée, le point P la forêt de palmiers et le point R la rivière aux crocodiles. (voir feuille annexe) a) Retrouve le point G au Nord Ouest représentant l'emplacement du grand rocher tel que MPG = 48° et MGP = 111° b) Le trésor est le 3ème sommet T du triangle GRT tel que GRT 114° et RT = 3,5cm. Retrouve l'emplacement du trésor T
aidez moi svp
aidez moi svp
More Questions From This User See All
Lista de comentários
Réponse:
1. Calcul des longueurs MP et PG :
- On sait que MG est l'hypoténuse du triangle MPG.
- On peut calculer MP en utilisant la formule du cosinus : cos(MGP) = MP/MG <=> MP = MG*cos(MGP).
- On peut calculer PG en utilisant la formule du sinus : sin(MGP) = PG/MG <=> PG = MG*sin(MGP).
2. Calcul des coordonnées du point G :
- On sait que G est au Nord-Ouest de M, donc ses coordonnées sont négatives.
- On peut utiliser les angles MPG et MGP pour calculer les coordonnées de G :
- L'angle MPG est de 180° - 48° - 111° = 21°.
- On peut en déduire que l'angle MGN (où N est le centre de la carte) est de 21° + 90° = 111°.
- On peut utiliser la trigonométrie pour calculer les coordonnées de G :
- Gx = Mx - PG*cos(111°) = 4,4 - 3,5*cos(21°) = 3,765 cm.
- Gy = My - PG*sin(111°) = 10,5 - 3,5*sin(21°) = 9,235 cm.
On retrouve donc les coordonnées du point G : G(3,765 ; 9,235).
Maintenant, on peut utiliser les informations données pour retrouver les coordonnées du point T :
1. Calcul des coordonnées du point R :
- On sait que le triangle GRT est isocèle en G, donc l'angle GRT est égal à la moitié de l'angle GRT = 57°.
- On peut utiliser la loi des cosinus pour calculer la longueur GR :
- cos(GRT) = (GR² + RT² - GT²) / (2*GR*RT) <=> GR = sqrt(RT² + GT² - 2*RT*GT*cos(GRT)).
- On peut calculer les coordonnées du point R en utilisant la relation GR = RG (car le triangle GRT est isocèle en G) :
- Rx = Gx + GR*cos(GRT) = 3,765 + GR*cos(57°).
- Ry = Gy + GR*sin(GRT) = 9,235 + GR*sin(57°).
2. Calcul des coordonnées du point T :
- On sait que le point T est le troisième sommet du triangle GRT, donc il est sur la droite (RT) et à une distance de R égale à RT.
- On peut utiliser les coordonnées de R et la direction de la droite (RT) pour calculer les coordonnées de T :
- Tx = Rx + (RT/GR)*(Gx - Rx).
- Ty = Ry + (RT/GR)*(Gy - Ry).
En utilisant les valeurs données, on trouve :
- GR = sqrt(3,5² + 2,9² - 2*3,5*2,9*cos(57°)) = 2,979 cm.
- Rx = 3,765 + 2,979*cos(57°) = 5,010 cm.
- Ry = 9,235 + 2,979*sin(57°) = 10,098 cm.
- Tx = 5,010 + (3,5/2,979)*(3,765-5,010) = 3,189 cm.
- Ty = 10,098 + (3,5/2,979)*(9,235-10,098) = 9,053 cm.
On retrouve donc les coordonnées du point T : T(3,189 ; 9,053). Le trésor est situé à ces coordonnées sur la carte.