84 ABCDEFGH est un cube d'arête 6 cm.
M est un point de l'arête [AB] et I un point de l'arête
[AE] tels que AM = EI = x.
On construit à l'intérieur du cube le parallélépipède
rectangle AMPQIJKL de base le carré AMPQ.
H
G
JD:
F
C
A M
B
a) Exprimer le volume V(x), en cm³, de AMPQIJKL en
fonction de .x.
b) Étudier les variations de la fonction V sur l'intervalle
[0; 6].
c) En déduire la position du point M sur l'arête [AB]
pour laquelle le volume V(x) est maximum.
M est un point de l'arête [AB] et I un point de l'arête
[AE] tels que AM = EI = x.
On construit à l'intérieur du cube le parallélépipède
rectangle AMPQIJKL de base le carré AMPQ.
H
G
JD:
F
C
A M
B
a) Exprimer le volume V(x), en cm³, de AMPQIJKL en
fonction de .x.
b) Étudier les variations de la fonction V sur l'intervalle
[0; 6].
c) En déduire la position du point M sur l'arête [AB]
pour laquelle le volume V(x) est maximum.
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a) Pour exprimer le volume V(x) de AMPQIJKL en fonction de x, nous devons d'abord trouver les dimensions de ce parallélépipède rectangle.
Le carré AMPQ a une arête de longueur AM = x, donc son aire est A = x^2.
La hauteur du parallélépipède rectangle est donnée par la distance EI = x.
La largeur du parallélépipède rectangle est donnée par la distance entre les côtés parallèles AM et EI, qui est la même que celle entre les faces APMK et EILK. Comme ABCDEFGH est un cube, cette distance est égale à la longueur d'une arête du cube, soit 6 cm.
Ainsi, les dimensions de AMPQIJKL sont : longueur = x, largeur = 6 cm et hauteur = x.
Le volume V(x) de ce parallélépipède rectangle est donné par la formule : V(x) = longueur × largeur × hauteur.
En substituant les valeurs, nous obtenons : V(x) = x × 6 × x = 6x^2 cm³.
Donc, l'expression du volume V(x) en fonction de x est V(x) = 6x^2 cm³.
b) Pour étudier les variations de la fonction V sur l'intervalle [0; 6], nous devons calculer la dérivée de V(x) par rapport à x, puis analyser son signe.
La dérivée de V(x) par rapport à x est : V'(x) = 12x.
La dérivée est une fonction linéaire avec une pente positive (12), ce qui signifie que V(x) est croissante sur l'intervalle [0; 6].
c) Pour trouver la position du point M sur l'arête [AB] où le volume V(x) est maximum, nous devons examiner les extrémités de l'intervalle [0; 6] et calculer les valeurs correspondantes de V(x).
Lorsque x = 0, V(x) = 6(0)^2 = 0 cm³.
Lorsque x = 6, V(x) = 6(6)^2 = 216 cm³.
Ainsi, le volume V(x) est maximum lorsque x = 6, ce qui signifie que le point M doit être situé à l'extrémité de l'arête [AB] à une distance de 6 cm du point A. Va