On considère la fonction f dont l'image d'un nombre x est définie par: f(x)=2x²+x-1

1a. etablir l'egalité : f(x)=(x+1)(2x-1)

(x+1)(2x-1)=2x²-x+2x-1=2x²+x-1=f(x)

b. déterminer l'ensemble des solutions de l'équation f(x)=0

f(x)=0 donne (x+1)(2x-1)=0

donc x+1=0 ou 2x-1=0

donc x=-1 ou x=1/2

2a.Etablir l'égalité: f(x)=2(x+1/4)²-9/8

2(x+1/4)²-9/8=2(x²+1/2x+1/16)-9/8=2x²+x+1/8-9/8=2x²+x-1=f(x)

b. Etablir l'inégalité ci-dessous pour tout nombre x réel: f(x)>-9/8

2(x+1/4)²>0 donc 2(x+1/4)²-9/8>-9/8 donc f(x)>-9/8

c. La fonction f admet-elle un maximum ou un minimum?

f admet un minimum en -9/8 atteint pour x=-1/4

1) a. On développe (x+1)(2x-1) 

(x+1)(2x-1) = 2x² - x +2x -1 = 2x² +x -1 = f(x) donc f(x)=(x+1)(2x-1)

b.f(x) = 0 

soit x+1 = 0 <=> x=-1

soit 2x-1 = 0 <=> x=1/2

2) a. Pareille, on développe l'expression pour retomber sur f(x)

2(x+1/4)²-9/8 = 2(x²+ 1/16 +x/2)-9/8 = 2x²+ 1/8 +x-9/8 = 2x² +x -1 = f(x)

b.  f(x)>-9/8 <=> 2(x+1/4)²-9/8 >-9/8 <=> 2(x+1/4)² > 0  un carré est toujours positif ou nul mais on ne veut pas qu'il soit nul donc solution S = IR - {-1/4}

c. f(x)>-9/8  sur IR - {-1/4}  donc f admet un minimum en x= -1/4 ou elle atteint la valeur -9/8