Soit Mn = 1 + 10 + 10^2 + 10^3 + ... + 10^(n-1)
Soit n un entier naturel non nul. Supposons que Mn est premier. Montrons que n est premier.
On veut procéder par l'absurde donc on suppose que n'est pas premier. Ainsi il existe deux entiers naturels p et q différents de 1 et de n tel que n = pq
4) a) Montrer que 10^p ≡ 1 [9Mp]
C'est déjà fait.
b) En déduire que 9Mp divise
c) Montrer que Mp divise Mn
(j'ai une idée pour celle ci)
d) Conclure
Dans le b) le est le N comme par exemple le plus grand entier, par exemple : . Ce n'est pas le petit n.
Voilà ! Je voudrais juste les réponses avec les démarches de la 4) b) absolument et 4)d) si vous avez le temps s'il vous plaît.. Pour la 4a), je l'ai fait et la 4)c) j'ai une idée.
Merci d'avance !
Dreamus 1 Voir la réponse aymanemaysae aymanemaysae
Bonjour ;
4.
a.
On a : Mp = 1 + 10 + 10² + ...... + 10^(p - 1) avec p ∈ IN* .
Mp est une somme de nombres entiers naturels non nuls , donc Mp ∈ IN* .
On a : Mp = 1 + 10 + 10² + ...... + 10^(p - 1)
= (10^p - 1)/(10 - 1) = (10^p - 1)/9 ;
donc : 10^p - 1 = 9Mp ;
donc : 10^p = 9Mp + 1 ;
donc : 10^p ≡ 1 [9Mp] .
b.
On a : 10^p ≡ 1 [9Mp] ;
donc : (10^p)^n ≡ 1^p [9Mp] ;
donc : donc : 10^n ≡ 1 [9Mp] ;
donc : 10^n - 1 ≡ 0 [9Mp] ;
donc : (10^n - 1)/9 ≡ 0 [9Mp] ;
donc : Mn ≡ 0 [9Mp] ;
donc 9Mp divise Mn .
c.
9Mp divise Mn ; donc il existe k ∈ IN tel que : Mn = k x 9Mp = = 9k x Mp ;
donc Mp divise Mn .
d.
Si n n'est un nombre premier , donc il exite p et q deux nombres entiers
naturels différents de 1 tels que : n = pq ;
donc : p < n ;
donc : Mp < Mn :
donc : Mp < Mn = k Mp avec k ∈ IN ;
donc : 1 < k ;
donc : Mn = k Mn est un nombre non premier , ce qui contredit
l'hypothèse , donc si Mn est premier alors n est premier .
- Je ne comprens pas la 4. B). Vous utilisez le petit n alors qu'on parle grand N :'(
- Non merci je viens de comprendre