-a et b étant deux nombre positifs, on souhaite comparer:
m, l'inverse de la moyenne de ces nombres
et n, la moyenne de leurs inverses
Démontrer algébriquement le résultat,en étudiant le signe de m-n
m, l'inverse de la moyenne de ces nombres
et n, la moyenne de leurs inverses
Démontrer algébriquement le résultat,en étudiant le signe de m-n
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alors on a a>0 et b>0
la moyenne m de ces deux nombres est
la moyenne n de l'inverse de ces deux nombres et
L'expression de n n'étant pas très jolie, on va la rendre un peu plus "présentable" :
Maintenant, comparons m et n en faisant m-n et en étudiant le signe :
On met au même dénominateur :
Ce qui donne :
Pour étudier le signe, il faut toujours factoriser, on factorise donc le numérateur :
On sait que a et b sont positifs, donc 2ab est positif aussi, de même que (a+b). Il faut donc regarder le signe de (ab-1) :
ab-1<0 ab<1 a<1/b
ab-1>0 a>1/b
Ainsi, on a deux cas, si a<1/b, m-n est négatif et si a>1/b, m-n est positif.