Verified answer

O volume da pirâmide em função da medida "a" do segmento MN, aplicando a semelhança de triângulos, o Teorema de Pitágoras e o volume da pirâmide é dado por:

[tex]V=8a^3\sqrt{3} \ u.v.[/tex]

Geometria Espacial - Pirâmides

Para responder a esta questão vamos aplicar o Teorema de Pitágoras, a semelhança de triângulos e o volume de uma pirâmide.

Pelas informações contidas na figura temos que os triângulos AQO e ONM são semelhantes e retângulos respectivamente nos vértices Q e N.

Sendo x a medida da aresta da base e a altura da pirâmide temos que o segmento AQ é metade da diagonal do quadrado de lado x, logo mede x√2/2 e OQ mede x, assim pelo teorema de Pitágoras aplicado no triângulo AQO obtemos a medida de OA.

[tex]OA^2=AQ^2+OQ^2\\\\OA^2=\left(\dfrac{x\sqrt{2}}{2}\right)^2+x^2\\\\OA^2=\dfrac{x^2}{2}+x^2\\\\OA^2=\dfrac{3x^2}{2}\\\\OA=\dfrac{\sqrt{6}x}{2}[/tex]

Os triângulos ONM e AQO são semelhantes pois possuem em comum o mesmo ângulo O, e ainda, N e Q são ângulos retos. Pela semelhança de triângulos teremos os lados proporcionais:

[tex]\dfrac{OA}{OM}=\dfrac{AQ}{MN}\\\\\dfrac{\dfrac{\sqrt{6}x}{2}}{\dfrac{x}{2}}=\dfrac{\dfrac{x\sqrt{2}}{2}}{a}\\\\\sqrt{6}=\dfrac{x\sqrt{2}}{2a}\\\\x=2a\sqrt{3}[/tex]

Por fim calculamos o volume da pirâmide.

[tex]V=\dfrac{1}{3}A_B\cdot h\\\\V=\dfrac{1}{3}\cdot x^2\cdot x\\\\V=\dfrac{1}{3}\cdot x^3\\\\V=\dfrac{1}{3}\cdot (2a\sqrt{3})^3\\\\V=\dfrac{8a^3\cdot 3\sqrt{3}}{3}\\\\V=8a^3\sqrt{3} \ u.v.[/tex]

Para saber mais sobre Pirâmides acesse:

https://brainly.com.br/tarefa/41455599

#SPJ1