A origem da trigonometria é incerta. Entretanto, pode-se dizer que o início do desenvolvimento da trigonometria se deu principalmente devido aos problemas gerados pela Astronomia, Agrimensura e Navegações, por volta do século IV ou V a.C., com os egípcios e babilônios. Um dos fatores que contribuíram para esta evolução que podemos destacar são as relações trigonométricas. Classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas e depois assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A) F - V - V - F.
B) F - F - V - V.
C) V - V - F - V.
D) V - V - V - V.
A) F - V - V - F.
B) F - F - V - V.
C) V - V - F - V.
D) V - V - V - V.
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Por meio de cálculos e análises, podemos determinar que a resposta é [tex]\boxed{ \bf D) V - V - V - V}[/tex]
Temos as seguintes afirmações:
[tex]( \: V \: ) \tg \left( \frac{\pi}{4} \right) = \tg \left( \frac{5\pi}{4} \right) \: \: \: \: \: \: \\ ( \:V \: ) \sin \left( \frac{5\pi}{6} \right) = \sin \left( \frac{\pi}{6} \right) \: \: \: \\ ( \: V \: ) \sin \left( \frac{\pi}{3} \right) = \cos \left( \frac{11\pi}{6} \right) \\ ( \: V\: ) \cos\left( \frac{\pi}{4} \right) = \cos \left( \frac{7\pi}{4} \right) \: [/tex]
Para determinarmos se cada uma dessas afirmações é verdadeira ou falsa, devemos realizar alguns passos.
[tex] \begin{cases} 1) \: aplicar \: o \: macete \: \\ 2) \: 1 {}^{o} \: determinac \tilde{a}o \: positiva \\ 3) \: quadrantes\end{cases}[/tex]
O macete citado acima é basicamente fazer uma fatoração na expressão para que possamos determinar a primeira determinação positiva em radianos, sem haver a necessidade de converter para graus.
[tex] \: \frac{n\pi}{a} = \frac{m\pi}{a} + \frac{k\pi}{a} \: \to \: \begin{cases} n = m + k \\ n \: \: \acute{e} \: \: \acute{i}mpar \\ m \: \: \acute{e} \: \: par \\ \frac{k\pi}{a} \: \: \acute{e} \: a \: 1 {}^{o} \: determinac \tilde{a}o \: positiva \\ n > a\end{cases} \\ \frac{n\pi}{a} = \frac{m\pi}{a} - \frac{k\pi}{a} \: \to \: \begin{cases} n = m + k \\ m \: \: e \:k \: s\tilde{a}o \: pares \\ \frac{k\pi}{a} \: \: \acute{e} \: a \: 1 {}^{o} \: determinac \tilde{a}o \: positiva \\ n < a\end{cases}[/tex]
Aplicando este macete em todas as afirmações, obtemos que:
[tex]\frac{5\pi}{4} = \frac{4\pi}{4} + \frac{\pi}{4} \: \: \to \: \: \pi + \boxed{\frac{\pi}{4}} \: \:(3 {}^{o} \: quadrante) \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \frac{5\pi}{6} = \frac{6\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} \: \to \: \: \pi - \boxed{ \frac{\pi}{3} } \: \:(2 {}^{o} \: quadrante) \: \: \: \: \: \: \\ \\ \frac{11\pi}{6} = \frac{10\pi}{6} + \frac{\pi}{6} \: \: \to \: \: \frac{5\pi}{3} + \boxed{ \frac{\pi}{6} } \: \: (4 {}^{o} \: quadrante) \\ \\ \frac{7\pi}{4} = \frac{6\pi}{4} + \frac{\pi}{4} \: \: \to \: \: \frac{3\pi}{2} + \boxed{ \frac{\pi}{4} } \: \: (4 {}^{o} \: quadrante) \: \: [/tex]
Tendo encontrado as determinações positivas e os quadrantes, podemos ver que todos os arcos dados são congruos com a igualdade dada no enunciado. Agora só termos que determinar se são verdadeiramente iguais.
[tex] \boxed{ \begin{array}{c |c| c}Seno \: ( + )&Tangente \: ( + ) \: &Cosseno \: ( + )\\1 {}^{o} \: e \: \: 2 {}^{o} &1 {}^{o} \:e \: \: 3 {}^{o} & 1 {}^{o} \: e\: \:4 {}^{o} \end{array}}[/tex]
Utilizando a tabela acima, podemos fazer a classificação quanto ao resultado de cada item.
I. O primeiro item nos traz a tangente, primeiramente de um ângulo do primeiro e outro do terceiro quadrante, como podemos ver pela tabela, sabemos que a tangente no primeiro e terceiro quadrantes, é positiva, ou seja, a primeira afirmação é correta.
[tex]( \: V \: ) \tg \left( \frac{\pi}{4} \right) = \tg \left( \frac{5\pi}{4} \right) \\[/tex]
II. Em seguida temos o seno de um ângulo do segundo quadrante igualado ao seno de um ângulo do primeiro. Pela tabela vemos que o seno é positivo no primeiro e segundo quadrantes, ou seja, esta afirmação está correta.
[tex] (\:V\:)\sin \left( \frac{5\pi}{6} \right) = \sin \left( \frac{\pi}{6} \right) \\[/tex]
III. Adiante temos os arcos congruos, sendo a igualdade dada pelo seno de um ângulo de primeiro quadrante com o cosseno de um ângulo de quarto quadrante. Mais uma vez, vemos que pela tabela o seno é positivo no primeiro quadrante e o cosseno no quarto quadrante, isto é, a afirmação está correta.
[tex] ( \:V \: ) \sin \left( \frac{\pi}{3} \right) = \cos \left( \frac{11\pi}{6} \right)\\[/tex]
IV. Por fim, tem-se o cosseno de um ângulo do primeiro quadrante igualado ao cosseno de um ângulo do quarto quadrante. Nem é necessário falar que esta igualdade é verdadeira, pois é nítido pela tabela. Lembrando que os arcos são congruos.
[tex] ( \: V\: ) \cos\left( \frac{\pi}{4} \right) = \cos \left( \frac{7\pi}{4} \right)\\ \: [/tex]
Espero ter ajudado
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