A partir du segment (EF), construis un triangle
EFG, rectangle en E tel que EF EG 3 cm.
a. Place le point K image de F par la symétrie de
centre E.
b. Par quelle translation le point K est-il l'image du
point E ?
c. Place le point J image de G par la translation qui
transforme F en E.
d. Quelle est la nature du triangle JKE ? Justifie.
e. Justifie que EK = KJ = JG = EG puis déduis-en
que le quadrilatère JGEK est un carré.
f. Calcule l'aire du triangle EFG puis déduis-en
l'aire du triangle JKE.
g. Sans autres calculs d'aire, déduis-en l'aire du
Quadrilatère FGJK. Justifie,
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b) La symétrie centrale ne change pas les distances entre les points, donc la translation qui transforme E en K a pour vecteur directeur KM = KE - EM = KE - EF/2. On a EF = EG, donc KM = KE - EG/2.
c) La translation qui transforme F en E a pour vecteur directeur FE, donc elle transforme G en J tel que FJ = FE et EJ = EG. On construit donc la parallèle à (EF) passant par G, elle coupe (FE) en J.
d) Le triangle JKE est isocèle en K car KE = KJ par construction. De plus, il est rectangle en K car la droite (EK) est perpendiculaire à la droite (EF) qui est perpendiculaire à la droite (FG). Donc le triangle JKE est rectangle isocèle en K.
e) Comme le triangle EFG est rectangle en E, on a EG² = EF² + FG², donc EG² = 3² + FG², donc FG = √(EG² - 3²) = √(EG² - EF²). Comme la translation qui transforme F en E transforme également G en J tel que EJ = EG et FJ = FE, on a JG = EG - EF = EG - 3, KJ = KE - EF = EG/2 - 3 et EK = EG/2. Donc EK = KJ = JG. De plus, les côtés du carré JGEK ont la même longueur, donc il s'agit bien d'un carré.
f) L'aire du triangle EFG est (EF x EG)/2 = (3 x EG)/2. Comme EK = KJ = JG = EG/2, l'aire du triangle JKE est (EK x KJ)/2 = (EG/2 x EG/2)/2 = EG²/8.
g) L'aire du quadrilatère FGJK est la somme des aires des triangles JFG et JKE. L'aire de JFG est la moitié de l'aire du rectangle EFEG, donc (EF x EG)/2 = 4,5 cm². L'aire de JKE a été calculée précédemment, donc (EG²/8) = (9/8) cm². Donc l'aire du quadrilatère FGJK est 4,5 + (9/8) = 5,125 cm².
J’espère que je t’ai aidé :)