Resposta:

Espero ter entendido

Explicação passo a passo:

Vamos resolver cada parte do problema:

a) Encontre a função velocidade e aceleração da partícula.

A posição da partícula é dada por x(t) = 4 - 27t + t^3.

Para encontrar a função velocidade, você deve derivar a função de posição em relação ao tempo (t):

v(t) = dx(t)/dt

v(t) = d/dt(4 - 27t + t^3)

Agora, vamos calcular a derivada em relação a t:

v(t) = -27 + 3t^2

Portanto, a função velocidade da partícula é v(t) = 3t^2 - 27.

Para encontrar a função aceleração, você deve derivar a função velocidade em relação ao tempo (t):

a(t) = dv(t)/dt

a(t) = d/dt(3t^2 - 27)

Agora, vamos calcular a derivada em relação a t:

a(t) = 6t

Portanto, a função aceleração da partícula é a(t) = 6t.

b) Existe algum instante para o qual v = 0?

Para encontrar o instante em que v = 0, você pode igualar a função de velocidade a zero e resolver para t:

0 = 3t^2 - 27

Adicione 27 em ambos os lados da equação:

3t^2 = 27

Agora, divida ambos os lados por 3:

t^2 = 9

Tire a raiz quadrada de ambos os lados:

t = ±3

Portanto, existem dois instantes em que v = 0, que são t = 3 e t = -3.

c) Descreva o movimento da partícula para t ≥ 0.

Para descrever o movimento da partícula para t ≥ 0, vamos considerar os seguintes aspectos:

1. Posição Inicial (t = 0):

  Quando t = 0, a posição da partícula é dada por x(0) = 4 - 27(0) + (0)^3 = 4.

2. Velocidade Inicial (t = 0):

  Quando t = 0, a velocidade da partícula é dada por v(0) = 3(0)^2 - 27 = -27.

3. Aceleração (t ≥ 0):

  A aceleração da partícula é constante e igual a a(t) = 6t. Portanto, a aceleração aumenta linearmente com o tempo.

4. Mudanças na Velocidade:

  A velocidade inicial é negativa (-27), o que significa que a partícula está se movendo para a esquerda. Conforme o tempo passa, a velocidade aumenta devido à aceleração positiva (6t). Portanto, a partícula começa a desacelerar (redução na magnitude da velocidade negativa) e eventualmente muda de direção quando a velocidade atinge zero em t = 3.

5. Mudanças na Posição:

  A posição da partícula é dada pela função x(t) = 4 - 27t + t^3. Conforme o tempo passa, a partícula se move para a esquerda (posição diminui) devido à velocidade negativa e à aceleração negativa.

Portanto, para t ≥ 0, a partícula se move inicialmente para a esquerda, desacelera, muda de direção em t = 3 e começa a se mover para a direita. A posição e a velocidade da partícula dependem do tempo de acordo com as equações dadas.