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Explicação passo a passo:

sabendo que ax² - bx + c = 0 temos

3y² - 2y + ( k- 2 ) = 0

a = +3

b = -2

c = + ( k - 2 )

delta = b² - 4ac ou ( -2)² -[ 4 * 3 * ( k - 2 )]

delta = 4 - [12 * ( k - 2)]

delta = 4 - [12k - 24] ou 4 - 12k + 24 ou 28 - 12k

28 - 12k = 0

- 12k = - 28 ( - 1)

12k =28

k = 28/12 = por 4 = 7/3 >>>>>resposta

substituindo k por 7/3 temos o valor de y

3y² - 2y +( k - 2 ) = 0

3y² - 2y + ( 7/3 - 2 ) = 0

7/3 - 2/1 = ( 7 -6 )/3 = 1/3 ( nota)

reescrevendo

3y²/1 - 2y/1 + 1/3 = 0

mmc = 3

9y² - 6y + 1 = 0

trinomio quadrado perfeito fatorando

( 3y - 1 )* ( 3y - 1 ) = 0 ou ( 3y - 1 )² = 0

3y - 1 = 0

3y = 1

y1 = 1/3 >>>

y2 = 1/3 >>>>

existem vários valores de k inteiros

k = -3n² - 2n + 2 com n ∈ Z.

TEMOS 2 OPÇÕES n = +-2

PRIMEIRA OPÇÃO

Se n = 2 >>>>> primeira opção

k = - 3n² -2n + 2

k = - 3 (2)² - 2 ( 2) + 2 ou -3 ( 4 ) - 4 + 2 ou -12 - 4 + 2 ou -16 + 2 = - 14 >

k = -14

3y² - 2y + k - 2 = 0

3y² - 2y - 14 - 2 = 0

3y² - 2y - 16 = 0

3y² - 2y - 16 = 0

achando as raizes temos

y1 = -2,

y2 = 8/3

SEGUNDA OPÇÃO

Se n = -2 >>>>segunda opção

k = -6

3y² - 2y - 8 = 0

achando as raizes

y1 = 2

y2 = -4/3

Vamos lá.

3y² - 2y + k - 2 = 0

existem vários valores de k

☞ um valor de k real quando o vértice Vy = 0.

Vx = -b/2a = 2/6 = 1/3

Vy = 3/9 - 2/3 + k - 2

Vy = 3/9 - 6/9 + k - 18/9

Vy = k - 21/9

Vy = k - 7/3 = 0

k = 7/3

y = 1/3

☞ existem vários valores de k inteiros

k = -3n² - 2n + 2 com n ∈ Z.

dois exemplos

☞ n = 2

k = -14

3y² - 2y + k - 2 = 0

3y² - 2y - 16 = 0

y1 = -2, y2 = 8/3

☞ n = -2

k = -6

3y² - 2y - 8 = 0

y1 = 2, y2 = -4/3