A voltagem elétrica entre dois pontos, A e B, de um circuito elétrico, é de 120 V. Quando os pontos são interligados por 2 resistores em série, a intensidade da corrente elétrica entre A e B é de 3,00 A e quando os mesmos resistores são associados em paralelo, a intensidade de corrente elétrica entre A e B é de 16,0 A. Determinar a resistência elétrica de cada resistor.
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[tex]R_2 = 30\varOmega \quad \rightarrow \quad R_1 = 10\varOmega\\\\ou\\\\R_2 = 10\varOmega \quad \rightarrow \quad R_1 = 30\varOmega[/tex]
Em uma associação de resistores, podemos utilizar da Lei de Ohm para analisar a resistência, corrente ou potencial característico do circuito. A Primeira Lei de Ohm é dada por:
[tex]\fbox{$U=R\cdot i$}[/tex]
Com ela, podemos perceber que a intensidade de corrente elétrica presente no circuito depende diretamente do potencial aplicado (voltagem) no circuito e também que depende inversamente da Resistência (Quanto maior for a resistência em um circuito, menor será a corrente). Tendo isso em mente, podemos analisar as associações presentes no problema.
Uma associação em série é caracterizada por apresentar um corrente elétrica constante em todos os resistores. Ao passo que cada resistor apresentará uma única diferença de potencial, que dependerá do valor de sua resistência. Temos então que:
[tex]U = U_1 + U_2\\\\i = i_1 = i_2[/tex]
Podemos calcular a resistência equivalente dessa associação da seguinte maneira:
[tex]\fbox{$R_{eq} = R_1 + R_2$}[/tex]
Uma associação em paralelo é caracterizada por apresentar uma diferença de potencial constante entre os polos dos resistores, todos estão submetidos ao mesmo potencial. Ao passo que a corrente total será a soma das correntes que percorre cada um deles.
Cada resistor terá uma intensidade de corrente que dependerá do valor de sua resistência e poderá ser calculada pela Primeira Lei de Ohm. Temos então que:
[tex]U=U_1=U_2\\\\i=i_1+i_2[/tex]
Podemos calcular a resistência equivalente dessa associação da seguinte maneira:
[tex]\frac{1}{R_{eq}}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}[/tex]
Para uma associação em paralelo de dois resistores, a resistência equivalente será:
[tex]R_{eq}=\frac{R_1\cdot R_2}{R_1+R_2}[/tex]
Com tudo isso em mente, podemos analisar o problema de forma a descobrir o valor das resistências. Primeiramente, analisaremos o caso em que os resistores são ligados em série.
O enunciado no diz que a diferença de potencial aplicada entre os resistores 1 e 2 é de 120V e também que a corrente total que os percorre é se 3,00 A. Podemos utilizar a primeira Lei de Ohm e as noções de associações para descobrir a resistência equivalente do circuito.
[tex]U = R_{eq} \cdot i\\\\120= R_{eq} \cdot 3\\\\R_{eq} = \frac{120}{3}\\\\R_{eq} = 40 \varOmega[/tex]
Sabemos que, em uma associação em série, a resistência equivalente será a soma das resistências presentes no circuito. Temos então que:
[tex]R_{eq} = R_1 + R_2\\\\\fbox{$(R_1 + R_2) = 40\varOmega$} \quad(i)[/tex]
Vamos guardar essa informação por enquanto, ela nos será útil futuramente.
Seguindo com o problema, analisaremos o caso da associação em paralelo.
O enunciado agora nos informa que a associação em paralelo desses resistores possui a mesma diferença de potencial, porém, a corrente total é de 16,0 A. A corrente em cada um dos resistores é diferente mas ao total, a corrente é de 16,0 A.
Podemos calcular a resistência equivalente da seguinte forma:
[tex]U=R_{eq}\cdot i\\\\120 = R_{eq}\cdot 16\\\\R_{eq} = \frac{120}{16}\\\\R_{eq}=7,5\varOmega[/tex]
[tex]R_{eq} = \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2}\\\\\frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2} = 7,5\varOmega\\\\[/tex]
Podemos substituir o valor obtido em (i) para obter a relação entre as resistências. Dessa forma, ficamos com:
[tex]\frac{R_1 \cdot R_2}{40} = 7,5\\\\R_1 \cdot R_2 = 7,5\cdot 40\\\\\fbox{$R_1 \cdot R_2 = 300$} \quad (ii)[/tex]
Reunindo (i) e (ii), montamos o seguinte sistema:
[tex]\displaystyle \left \{ {{R_1+R_2 = 40} \atop {R_1\cdot R_2}=300} \right.[/tex]
Analisando a equação (i), podemos isolar qualquer um dos termos e ficamos com:
[tex]R_1 = 40-R_2[/tex]
Substituindo esse valor em (ii), temos:
[tex]R_1\cdot R_2 = 300\\\\(40-R_2)\cdot R_2 = 300\\\\40\cdot R_2 - R_2^2 = 300\\\\\fbox{$R_2^2-40\cdot R_2+300 = 0$}[/tex]
Resolvendo a equação, temos dois possíveis valores:
[tex]R_2' = 30\varOmega \\\\e\\\\R_2'' = 10\varOmega[/tex]
Agora podemos utilizar esses dois resultados na equação (i) e teremos dois possíveis casos para as resistências.
[tex]R_1 +R_2' = 40\\\\R_1 +30 = 40\\\\R_1 = 40-30 = 10\varOmega[/tex]
[tex]R_1 + R_2'' = 40\\\\R_1 + 10 = 40\\\\R_1 = 40- 10 = 30\varOmega[/tex]
Concluímos, portanto, que as resistências R1 e R2 assumem dois valores possíveis:
[tex]R_2 = 30\varOmega \quad \rightarrow \quad R_1 = 10\varOmega\\\\ou\\\\R_2 = 10\varOmega \quad \rightarrow \quad R_1 = 30\varOmega[/tex]
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