Ache a área da região limitada pelas curvas f(x)=sen(x), pela reta y=1 e pelo eixo y à direita do ei.... Pergunta de ideia dePenhaTop

December 2023 1 108 Report

Ache a área da região limitada pelas curvas f(x)=sen(x), pela reta y=1 e pelo eixo y à direita do eixo y. faça um esboço gráfico da região limitada.

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Após a realização dos cálculos ✍️, podemos concluir mediante ao conhecimento de área entre curvas que :

A=(π-2)/₂ u.a e a região está corretamente representada no anexo ✅

Propriedas básicas das integrais indefinidas

1) [tex]\displaystyle\rm\int dx=x+k[/tex]
2) [tex]\displaystyle\rm\int k\cdot f(x)\,dx=k\cdot \int f(x)\,dx[/tex]
3) [tex]\displaystyle\rm\int [af(x)\pm g(x)]dx=a\int f(x)\pm b\int g(x)dx[/tex]
4) [tex]\displaystyle\rm\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+k,\forall n\ne-1[/tex]

Integrais de funções trigonométricas

[tex]\displaystyle\rm\int cos(x)=sen(x)+k[/tex]
[tex]\displaystyle\rm\int sen(x)\,dx=-cos(x)+k[/tex]
[tex]\displaystyle\rm\int tg(x)\,dx=\ln|sec(x)|+k[/tex]
[tex]\displaystyle\rm\int sec(x)\,dx=\ln| sec(x)+tg(x)|+k[/tex]
[tex]\displaystyle\rm\int cosec(x)\,dx=\ln|cosec(x)-cotg(x)|+k[/tex]
[tex]\rm\displaystyle\rm\int cotg(x)\,dx=\ln| sen(x)|+k[/tex]

Área entre curvas

O teorema fundamental do cálculo nos assegura que a integral definida entre os limites de integração x=a e x=b representa a área sob a curva.

matematicamente

[tex]\Large{\boxed{\begin{array}{l}\displaystyle\rm A=\int_a^bf(x)=\bigg[g(x)\bigg]_a^b=g(b)-g(a)\end{array}}}[/tex]

Observações:

Quando o limite inferior for 0 não tem necessidade de substituir na função pois tudo se anula salvo se a função inferior for cos(x).

Se a área a ser calculada for gerada por uma curva f(x) limitada superiormente e g(x) limitada inferiormente, então a área é dada pela diferença das funções f(x) e g(x) entre os limites de integração x=a e x=b

Se a área a ser calculada for simétrica em relação ao eixo y basta calcular o dobro da integral da função delimitada de x=0 até x=b.

Se a área a ser calculada estiver abaixo do eixo x então calcula-se o módulo da integral definida de x=a até x=b.

✍️Vamos a resolução do exercício

Observe a figura que anexei. Perceba que a função está delimitada superiormente pela reta g(x)=1 e inferiormente pela função f(x)=sen(x) , a esquerda pelo eixo y e a direita pela reta x=π/₂. A área pedida é dada pela integral definida de 0 até π/₂.

[tex]\Large{\boxed{\begin{array}{l}\displaystyle\sf A=\int_0^{^{\pi}/_2} [1-sen(x)]dx\\\\\sf A=\bigg[ x+cos(x)\bigg]_0^{^{\pi}/_2}\\\\\sf A=\dfrac{\pi}{2}+cos\bigg(\dfrac{\pi}{2}\bigg)-[0+cos(0)]\\\\\sf A=\dfrac{\pi}{2}+0-1\\\\\sf A=\dfrac{\pi}{2}-1\\\\\sf A=\dfrac{\pi-2}{2}\end{array}}}[/tex]

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