Activité 4 de un problème mens tre plane Un raid nature Dans l'esprit du Swimrun, un club sportif organise une compétition combinant la course à pied et la natation. Les participants partiront en courant du point D pour rejoindre le point P situé au bord de la rivière schématisée par la droite A. Du point P, ils nageront sur une distance de 200 mètres jusqu'au point Q. Pour finir, ils repartiront du point Q en courant jusqu'à l'arrivée située au point A. Pour que la course reste d'une difficulté raisonnable tout en respectant les conditions énoncées ci-dessus, les organisateurs souhaitent déterminer les positions de P et Q sur A pour que la distance parcourue par un participant soit minimale, c'est-à-dire pour que la longueur DP + PQ+ QA soit minimale. 1. Pourquoi la somme DP + PQ+QA est-elle minimale lorsque la somme DP + QA est minimale ? 2. Reproduire une figure analogue en plaçant les points D, A et la droite A. 3. Soit A'le symétrique de A par rapport à la droite A. Justifier que QA = QA; puis construire A 4. Soit le point B tel que PQA'B est un parallelogramme. Pourquoi a-t-on PB = QA? D P 200 m 5. Déduire de ce qui précède la construction du point P, puis du point Q tel que la longueur DP+PQ+QA soit minimale. CHAPITRE 5 Géométrie 159 83​