Réponse :

bonjour

Explications étape par étape :

l'énoncé nous dit ABCE rectangle donc 4 angle droits

⇒ AE = BC = 4 + 2 = 6cm

⇒ AB = EC = 2 + 1 = 3cm

1)

Calcul de BD

donc le triangle BCD est un triangle rectangle en C et la longueur BD est l'hypoténuse de ce triangle puisque située en face de l'angle droit C

le théorème de Pythagore dit que :

dans un triangle rectangle , le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des 2 autres côtés :

⇒ BD² = BC² + DC²

⇒ BD² = 6² + 1²

⇒ BD² = 36 + 1 = 37

⇒ BD = √ 37 cm (valeur exacte)

Calcul de BF

• soit le triangle  BAF rectangle en A avec BF hypoténuse de ce triangle

⇒ BF² = AF² + AB²

⇒ BF² = 2² + 3²

⇒ BF² = 4 + 9 = 13

⇒ BF = √ 13 cm (valeur exacte)

Calcul de FD

• soit le triangle FED rectangle en E avec FD hypoténuse de ce triangle

⇒ FD² = FE² + ED²

⇒ FD² = 4² + 2²

⇒ FD² = 16 + 4 = 20

⇒ FD = √ 20 (valeur exacte)

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2) BFD triangle rectangle ?

Reciproque du théorème de Pythagore

si et seulement si le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des 2 autres côtés

soit si ⇒ BD² = BF² + FD²

BD² = (√37)² = 37

BF² + FD²= (√13)² + (√20)²= 13 + 20 = 33

comme  

BD² ≠  BF² + FD² , on en conclut que le triangle BFD n'est pas un triangle rectangle

3)

pour répondre à cette question on va utiliser la réciproque du théorème de Thalès qui dit que :

Si, d'une part les points E ; F ; A et d'autre part les points

E ; D ;C sont alignés dans le même ordre et si les deux premiers rapports de Thalès sont égaux  

EF/EA = ED/EC

alors les droites (FD) et (AC) sont parallèles.

⇒ EF/EA = 4/6 = 2/3

⇒ ED/EC = 2/3

comme  EF/EA = ED/EC on conclut que  les points

E ; F ; A et E ; D ; C sont alignés et dans le même ordre donc (FD) // (AC) (et les triangles FED et AEC sont semblables )

bonne journée