aidez moi svp !
BANC est un parallélogramme tel que BA = 4cm , BC = 6cm et AC = 8cm.
P est le point de [AC] tel que AP = 2,4cm. La parallèle à (BC) passant par P coupe [CN] en O.
Montrer que les droites (PO) et (AN) sont parallèles.
Calculer les longueurs CO et PO.
Merci bcp
BANC est un parallélogramme tel que BA = 4cm , BC = 6cm et AC = 8cm.
P est le point de [AC] tel que AP = 2,4cm. La parallèle à (BC) passant par P coupe [CN] en O.
Montrer que les droites (PO) et (AN) sont parallèles.
Calculer les longueurs CO et PO.
Merci bcp
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Réponse:
j'espère que cela va t'aider
Explications étape par étape:
Tout d'abord, on remarque que dans le parallélogramme BANC, BA est parallèle à NC (car ils sont tous deux parallèles à BC), et donc que AN est une diagonale. Sur note M le point d'intersection de (PO) et (AN).
Puisque (PO) est parallèle à (BC) et que P est sur AC, le triangle APO est semblable au triangle ABC par le théorème de Thalès. En effet, les deux triangles ont un angle droit en P et les angles en A et en B sont égaux car ils correspondent à des angles alternes-internes. Ainsi, on peut écrire :
AP/AB = AC/BC
Ce qui donne :
2,4/4 = 8/6
En simplifiant, sur l'instantané :
0,6 = 0,8
Ceci est une contradiction, donc notre hypothèse que M n'appartient pas à (AN) est fausse. Autrement dit, M appartient bien à (AN), et donc (PO) et (AN) sont parallèles.
Maintenant, pour calculer les longueurs CO et PO, on peut utiliser le fait que (PO) est parallèle à (BC), et donc que les triangles POC et BCO sont similaires. On peut écrire :
PO/BC = PC/CO
En remplaçant PC par AC - AP, sur
PO/BC = (AC - AP)/CO
En substituant les valeurs numériques, sur un :
PO/6 = (8 - 2,4)/CO
En simplifiant, on trouve :
PO/6 = 5,6/CO
Ce qui donne :
PO = (5,6/6) × CO
En utilisant la relation de Pythagore dans le triangle APC, on peut trouver la valeur de PC :
PC^2 = AC^2 - AP^2 PC^2 = 8^2 - 2,4^2 PC^2 = 59,84 PC = √59,84 PC ≈ 7,73 cm
En utilisant le fait que la somme des angles d'un triangle vaut 180 degrés, on peut trouver l'angle ∠ACP :
∠ACP = 180 - ∠APC - ∠CAP
Soit, dans le triangle ACP, sur un :
∠APC = 90 degrés (car c'est un angle droit) ∠CAP = ∠BAC = arctan(3/4)
Ainsi, sur un :
∠ACP = 180 - 90 - arctan(3/4) ∠ACP ≈ 28,07 degrés
En utilisant la trigonométrie dans le triangle POC, on peut trouver la valeur de cos(∠ACP) :
cos(∠ACP) = PO/PC
En substituant les valeurs numériques, sur un :
PO/PC = cos(∠ACP) PO/7,73 = cos(28,07) PO/7,73 ≈ 0,8846 PO ≈ 6,89 cm
Finalement, en utilisant la relation PO = (5,6/6) × CO, on trouve :
6,89 = (5,6/6) × CO CO ≈ 7,65 cm
Ainsi, sur un CO ≈ 7,65 cm et PO ≈ 6,89 cm.